Intuición para la integración de Lebesgue

La esencia se puede entender mejor en un entorno bidimensional. La integral de Riemann de una función$(x,y)\mapsto f(x,y)$sobre la plaza$Q:=[-1,1]^2$consiste en cortar el cuadrado en pequeños rectángulos$Q_{ij}:=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$y luego discutir sobre "sumas de Riemann" de la forma

$$\sum_{i, j} f(\xi_i,\eta_j)\mu(Q_{ij})\ ,\tag{1}$$ dónde $\mu(Q_{ij})=(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})$es el área euclidiana elemental de $Q_{ij}$. Esto es simple e intuitivo, y obtienes la linealidad de la integral de forma gratuita. Pero es algo rígido.

En contraste con esto, la integración de Lebesgue implica dividir el cuadrado en subconjuntos definidos por las curvas de nivel de$f$, al igual que:

Entonces la integral es el límite$N\to \infty$de sumas de la forma

$$\sum_{k=-\infty}^\infty {k\over N}\mu(S_{N,k})\ ,\tag{2}$$ dónde $S_{N,k}$es la zona de la figura donde $${k\over N}\leq f(x,y)<{k+1\over N}\ .$$ Debería ser intuitivamente claro que las sumas $(2)$son de la misma manera una aproximación al volumen de la torta definida por $f$encima $Q$como son las sumas $(1)$. Pero el enfoque $(2)$es mucho más flexible y permite "teoremas de límite" más potentes. Por otro lado, cosas tan "simples" como la linealidad ahora requieren demostración.

Suponer que$f$es una función acotada positiva definida en un intervalo$[a,b]$con$0 < f \le M$.

Si particionas el dominio usando$a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = b$tu seleccionas puntos$x_k \in [t_{k-1},t_k]$y formar la suma de Riemann$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(x_k) \ell([t_{k-1},t_k])$dónde$\ell$es la longitud del intervalo$[t_{k-1},t_k]$.

Si, en cambio, divide el rango usando$0 = M_0 < M_1 < M_2 < \cdots < M_n = M$, puede formar una "suma de Lebesgue" análoga definiendo$E_k = \{x \in [a,b] : M_{k-1} < x \le M_k\}$. Seleccionar puntos$x_k \in E_k$y usa la suma$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(x_k) \ell(E_k)$.

Están sucediendo dos cosas que son muy diferentes a las de la suma de Riemann. Primero, los conjuntos$E_k$no son necesariamente intervalos, por lo que debe tener cuidado con lo que se entiende por$\ell(E_k)$. Aquí es donde se necesita la medida de Lebesgue. En segundo lugar, incluso si el$E_k$son intervalos, sus longitudes no necesariamente se reducen a cero como la malla de la partición de$[0,M]$disminuye a cero. Entonces, el proceso de considerar intervalos de tamaño decreciente no es el mismo que con la integración de Riemann.