¿Por qué ignoramos los términos de segundo orden en la siguiente expansión?

Esto también me molestó como estudiante universitario, y no fue hasta mucho más tarde que descubrí la forma matemática rigurosa de entender la teoría de perturbaciones. La respuesta básica es que "estamos restringiendo nuestra atención a las perturbaciones con esta propiedad". Para los detalles, mi respuesta se copiará libremente de la Relatividad General de Wald, que brinda una mejor descripción matemática de lo que realmente estamos haciendo aquí que la mayoría de los textos de mecánica clásica.

Supongamos que queremos resolver una ecuación diferencial$\mathcal{E}[q_i(t)] = 0$, dónde$\mathcal{E}$representa algún operador no lineal en las funciones$q_i(t)$. Supongamos que existe una familia de soluciones exactas$q_i(t; \lambda)$a las ecuaciones de movimiento, parametrizadas por un parámetro$\lambda$, con las siguientes propiedades:

• Para todos$\lambda$,$\mathcal{E}[q_i(t; \lambda)] = 0$;
• $q_i(t; 0) = q_{0i}(t)$, dónde$q_{0i}(t)$es nuestra "solución de fondo"; y
• $q_i(t; \lambda)$depende sin problemas$\lambda$y$t$.

En algún sentido,$\lambda$mide el "tamaño" de la perturbación lejos de la solución de fondo. En particular, dado que todas nuestras soluciones son exactas, podemos decir que

$$\left.\frac{d}{d\lambda} \mathcal{E}[q_i(t; \lambda)] \right|_{\lambda = 0} = 0,$$ y no es demasiado difícil ver que esta ecuación será una ecuación lineal en las funciones $$\gamma_{i}(t) \equiv \left. \frac{d q_i(t;\lambda)}{d\lambda}\right|_{\lambda = 0}.$$ Para suficientemente pequeño$\lambda$, la cantidad$q_{0i}(t) + \lambda \gamma_i(t)$será una buena aproximación a$q_i(t;\lambda)$, lo que nos permite estudiar soluciones que son "cercanas" a nuestra solución de fondo. El$\eta_i(t)$utilizado por Goldstein sería igual a$\lambda \gamma_i(t)$en este idioma.

Una vez que haya puesto todo esto en su lugar, entonces es bastante sencillo demostrar que$\dot{\eta}_i(t)$debe ir a cero como$\lambda \to 0$, desde

$$\frac{d \eta_i}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \lambda \left. \frac{d q_i(t, \lambda)}{d \lambda} \right|_{\lambda = 0}\right] = \lambda \left.\frac{d^2 q_i(t,\lambda)}{dt d\lambda} \right|_{\lambda = 0}$$ y el supuesto de suavidad en la familia$q_i(t;\lambda)$asegura que esta segunda derivada existe.

Para ver por qué la suposición de suavidad es lo que nos salva aquí de la patología que está considerando, considere la familia de funciones de un parámetro

$$f(t; \lambda) = \lambda \sin (t/\lambda).$$ Ciertamente es el caso que como$\lambda \to 0$, tenemos$\eta \to 0$pero$\dot{\eta} \not\to 0$. Pero esta familia de funciones no es fluida en$\lambda$, desde $$\frac{df}{d\lambda} = \sin(t/\lambda) - \frac{t}{\lambda}\cos(t/\lambda)$$ y esto no está bien definido en$\lambda = 0$. Sin embargo, la suposición de una "familia suave de soluciones" significa que hemos eliminado dicha patología en primer lugar, por lo que no tenemos que preocuparnos por tales casos cuando intentamos linealizar nuestras ecuaciones.

tienes razón en eso$\eta$ser pequeño en un momento en el tiempo entonces$\dot\eta$no tiene por qué ser pequeño en ese momento. Pero, la suposición es en realidad que$\eta$siempre es pequeño. Esto generalmente implica que$\dot\eta$es pequeño, ya que si$\dot \eta \Delta t \gg 1$en una pequeña ventana de tiempo$\Delta t$, entonces$\eta$se volvería grande después de un tiempo$\Delta t$(esto es suponiendo$\eta$es adimensional, de lo contrario tendría que dividir el lado izquierdo y derecho de esa desigualdad por algún parámetro para que ambos lados sean adimensionales).

Hay una sutileza en eso$\dot\eta$podría ser grande por un período de tiempo muy corto; en otras palabras, si$\dot\eta$cambia muy rápidamente para que no podamos elegir un$\Delta t$que es lo suficientemente pequeño como para que$\dot\eta$es aproximadamente constante y suficientemente grande para que$\dot \eta \Delta t \gg 1$. Esto puede suceder para oscilaciones de alta frecuencia en movimiento armónico simple. Sin embargo, el tiempo promedio $\dot\eta$todavía es pequeño. Por lo tanto, el efecto de los términos de orden superior en$\dot\eta$tienen un efecto pequeño en el movimiento general, incluso si pueden ser grandes durante un breve intervalo de tiempo.

Otra forma de justificar esto es verificar al final que haya realizado una aproximación autoconsistente . En otras palabras, puede proceder asumiendo que los términos de orden superior son pequeños, derivar la solución y luego verificar qué efecto agregan los términos de orden superior. Si usted asume constantemente que tiene pequeñas oscilaciones, los términos de orden superior no tendrán un gran efecto en la frecuencia de la oscilación.

para una coordenada generalizada$~q~$la energía cinética es

$$T=\frac 12 \,m(q)\,\dot q^2$$

$q\mapsto q_0+\eta~$dónde$~\eta~$es pequeño y$~q_0 ~$es el estado de equilibrio$~q_0~=$constante .

$$\dot q=\dot\eta\\ T\mapsto \frac 12 \,m(q)\,\dot\eta^2$$

tome la expansión de Taylor para$~m(q)~$tu obtienes

$$m\mapsto m(q_0)+ \frac{dm}{dq}\bigg|_{q_0}\,\eta\\ T=\frac 12\,\left[ m(q_0)+ \frac{dm}{dq}\bigg|_{q_0}\,\eta\right]\dot\eta^2$$

entonces$~\eta\,\dot\eta^2\mapsto 0$

creo que si$~\dot\eta(t)~$es pequeño por lo tanto$~\eta\,\dot\eta^2~$también es pequeño. Por ejemplo

$$\begin{align} \dot\eta(t)&=a\,\omega\cos(\omega\,t) \\ \eta(t)&=a\,\sin(\omega\,t)~\\ \eta\,\dot\eta^2&=a^3\,\omega^2\,\sin(\omega\,t)\,\cos^2(\omega\,t) \ll 1 \end{align}$$

dónde$~ a\,\omega \ll 1~$porque$~\dot\eta~$¡¡es pequeño!! no$~\eta$