¿Qué crea el movimiento caótico en un péndulo doble?

Como sabemos, el péndulo doble tiene un movimiento caótico. Pero, ¿por qué es esto? Quiero decir, la masa de los dos péndulos es la misma y tienen la misma longitud. Pero, ¿qué hace que su movimiento sea aleatorio?

Solo soy un chico de secundaria. Por lo tanto, trate de hacer que las respuestas sean comprensibles.

Similar: ¿Cuál es la posición de energía más alta para un péndulo doble? ¿Y para qué posiciones energéticas es caótico? physics.stackexchange.com/q/13268user929304 , No integrabilidad del péndulo doble 2D physics.stackexchange.com/q/142238

Respuestas (4)

Caótico no es lo mismo que aleatorio. Un sistema caótico es completamente determinista, mientras que un sistema aleatorio es completamente no determinista. Caótico significa que las condiciones iniciales infinitesimalmente cercanas conducen a divergencias arbitrariamente grandes a medida que el sistema evoluciona. Pero es imposible, en la práctica, reproducir dos veces las mismas condiciones iniciales. Con suficiente tiempo, dos configuraciones idénticas, establecidas en condiciones iniciales que sean lo más idénticas posible, se verán completamente diferentes.

Bien escrito. Dependiendo del nivel de educación del OP (algunas escuelas secundarias tienen un par de años de cálculo disponible), podría valer la pena escribir la ecuación del péndulo doble y simplemente señalar qué hacen las fases iniciales para intentar encontrar una solución.
No creo que esto responda la pregunta, que creo que es como dice GreenAsJade a continuación. Esto solo describe qué es el caos, no identifica qué características hacen que el péndulo doble sea caótico en algunos casos.

Quizás una mejor pregunta que hacer es: ¿por qué un solo péndulo no es caótico? Casi todos los sistemas reales son caóticos al menos hasta cierto punto; el hecho de que podamos escribir la solución para un solo péndulo para todos los puntos en el tiempo es realmente bastante peculiar, y solo es cierto porque es un sistema muy simplificado. La razón por la que estos sistemas no caóticos prevalecen tanto en los libros de texto es que, históricamente, nosotros, los humanos con nuestro peculiar conjunto de herramientas matemáticas y nuestras limitadas habilidades para calcular, hemos buscado agresivamente tales sistemas idealizados.

Las cosas ideales son perfectas. Como el aire es inconsistente, solo se necesita agregar los factores divergentes para una predicción precisa. Una vez que la fórmula para un péndulo en un viento cruzado (por supuesto, dependiendo de su forma exacta, que también es difícil de predecir) se necesita lo suficiente, la gente intentará crear una. O simplemente use un modelo con vientos más altos de lo esperado.
No siento que esto responda la pregunta subyacente, que es "¿qué es lo que hace que aparezca un comportamiento caótico?". La idea de que algunos sistemas (y el péndulo único no es uno de ellos) tienen un comportamiento divergente que depende de cambios de condición de entrada infinitesimales es la clave aquí.
Estoy de acuerdo en que la mía no es una respuesta; pero tenga en cuenta que no lo presenté como tal. Pero contrariamente a su afirmación, diría que enumerar las cualidades de un sistema caótico no ayuda mucho a explicar cómo surgen esas cualidades. Diría que aceptar que el 'caos' es la norma es una idea clave, y que es más instructivo reflexionar sobre por qué algunos sistemas son integrables.
La lectura sugerida es "Las leyes del caos" de Ilya Prigogine. Es un firme defensor de las leyes intrínsecamente caóticas también en la mecánica clásica.
@EelcoHoogendoorn: Cambiar la pregunta puede ser una idea útil, pero todavía es una pregunta sin respuesta aquí. ¿Por qué el péndulo simple es integrable mientras que el péndulo doble no lo es? ¿Cómo se puede reconocer si un sistema será integrable o no?

La respuesta barata y fácil a esto es que el péndulo doble se considera caótico porque es muy sensible a pequeñas perturbaciones en las condiciones iniciales (entre otras cosas). Mostrar esto matemáticamente puede ser difícil (ver la formulación de Lagrange para la dinámica), pero si uno mira las animaciones en la página de Wikipediamostrando la trayectoria del doble péndulo, la razón intuitiva de esta sensibilidad debería ser obvia. Hay muchos puntos en la trayectoria donde la tasa de aceleración del péndulo exterior depende mucho del ángulo exacto del péndulo superior a medida que gira. Si el péndulo interior está en un lugar visiblemente diferente, el péndulo exterior gira a un ritmo muy diferente, cambiando cuán "acoplados" están los dos péndulos. A veces, el efecto es unirlos como si fueran una cuerda en un reloj de pared. A veces hace que estén casi perfectamente opuestos en posición, haciendo lo suyo.

Cada vez que alcanza uno de estos estados, se vuelve muy sensible a las condiciones iniciales que lo llevan a ese estado. Una perturbación de la vista en el camino podría tener efectos magnificados arbitrariamente más adelante.

El mismo problema. Esto solo establece cómo reconocer el movimiento caótico cuando ocurre. No identifica qué tiene el sistema que hace que su movimiento sea caótico para algunos parámetros y condiciones iniciales.
@sammygerbil Me vinculé a la página de wikipedia para aquellos que quieran saber más. El OP mencionó estar en la escuela secundaria, así que evité tratar de escribir la prueba de por qué el sistema de doble péndulo es caótico. Requiere ecuaciones diferenciales y una definición formal de "caótico". La definición que normalmente uso implica un análisis de perturbaciones sobre esas ecuaciones diferenciales. Dejando a un lado esas expresiones matemáticas, me concentré en un sentido intuitivo de un punto claro en la trayectoria de los péndulos donde la intuición puede mostrar que la trayectoria del péndulo variará ampliamente debido a pequeñas perturbaciones.
Gracias por señalar el enlace. ¿Significa esto que el péndulo doble no será caótico a menos que tenga suficiente energía para "voltear"? Ese es el tipo de característica que estoy buscando. Utilizando el enfoque intuitivo, ¿cómo reconoce los puntos de crisis o las configuraciones?
@sammygerbil Esa pregunta se complica rápidamente porque no existe una línea divisoria singular en la arena entre caótico y no caótico. La línea se dibuja en función de la base elegida, y en realidad es solo un análisis de perturbación en algún punto. Si demuestras que, para una base particular, el efecto de una perturbación crece exponencialmente con el tiempo, es caótico. El "volteo" es conveniente porque es fácil definir la base. Puede definir una función para que sea "cantidad de tiempo hasta que el péndulo gire", y esa función exhibe un comportamiento caótico. Sin embargo, en algún momento, llega a la semántica.
Recomiendo encarecidamente (Chaotic Dynamics)[ en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory#Chaotic_dynamics] de Wikipedia sobre el tema de qué es un sistema caótico. Es una lectura muy bien redactada. Una cosa clave que mencionan es el concepto de exponentes de Lyapunov, que dicen qué tan rápido divergen dos sistemas. Cuando hablamos de que un sistema es caótico, eso generalmente significa un exponente de Lyapunov> 1 entre perturbaciones, lo que significa que el efecto de la perturbación crece exponencialmente.
Sí, quizás la respuesta esté ahí ("Complejidad mínima de un sistema caótico"). Si entiendo correctamente, depende de la dimensionalidad y/o la no linealidad.

Desde un punto de vista matemático, el caos determinista o la dependencia sensible de las condiciones iniciales se crea cuando hay más de 2 dimensiones o variables junto con una relación suficientemente compleja entre esas variables, como la no linealidad y/o el acoplamiento.

Hay 4 variables en un péndulo doble, dos ángulos y dos velocidades angulares. La relación matemática entre estas variables implica tanto cuadrados (no linealidad) como senos y cosenos (más no linealidad) de ambos ángulos en la misma ecuación (acoplamiento).

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Fuente de la imagen: Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos

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