De la ecuación de Euler-Lagrange a la ecuación geodésica no afín

Dejar$L = \sqrt {g_{\mu\nu}(x) \dot x^\mu \dot x^\nu}$, dónde$\dot x^\mu = \frac {d}{ds} (x^\mu)$

Eso no :$\frac {d}{ds} = (\frac {d}{ds} (x^\beta)) \partial_\beta = \dot x^\beta \partial_\beta$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange dan:

$$\frac {1}{2L}(g_{\mu\nu,\alpha}\dot x^\mu \dot x^\nu) = \frac {1}{2L}2 \frac {d}{ds}(g_{\mu\alpha} \dot x^\mu)$$

(Aquí, la notación$g_{\mu\nu,\alpha}$medio$\frac {\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\alpha}$)

Suponiendo aquí que$L \neq0$(consideramos aquí partículas masivas):

$$g_{\mu\nu,\alpha}\dot x^\mu \dot x^\nu = 2[(\frac {d}{ds}g_{\mu\alpha})\dot x^\mu + g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu]$$

$$g_{\mu\nu,\alpha}\dot x^\mu \dot x^\nu = 2[ g_{\mu\alpha,\beta}\dot x^\beta \dot x^\mu + g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu]$$

Cambiando el nombre de los índices en el lado izquierdo, obtenemos:

$$g_{\beta\mu,\alpha}\dot x^\beta \dot x^\mu = 2[ g_{\mu\alpha,\beta}\dot x^\beta \dot x^\mu + g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu]$$

Simetrizando en el lado derecho va a:

$$g_{\beta\mu,\alpha}\dot x^\beta \dot x^\mu = (g_{\mu\alpha,\beta} + g_{\beta\alpha,\mu}) \dot x^\beta \dot x^\mu + 2 g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu$$

Eso es :

$$g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu + \frac{1}{2} ( g_{\mu\alpha,\beta} + g_{\beta\alpha,\mu} - g_{\beta\mu,\alpha})\dot x^\beta \dot x^\mu = 0$$

Ahora, multiplicando por$g^{\gamma \alpha}$los dos lados, obtenemos:

$$\frac{d}{ds}\dot x^\gamma + \frac{1}{2} g^{\gamma \alpha}( g_{\mu\alpha,\beta} + g_{\beta\alpha,\mu} - g_{\beta\mu,\alpha})\dot x^\beta \dot x^\mu = 0$$

Que no es más que:

$$\frac{d}{ds}\dot x^\gamma + \Gamma^{\gamma}_{\beta \mu} \dot x^\beta \dot x^\mu = 0$$

Con respecto a la primera subpregunta de OP:

1. Por un lado, las ecuaciones EL

   $$\frac{\partial L_0}{\partial x^i}-\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L_0}{\partial \dot{x}^i}~\approx~0 \tag{1}$$ para un lagrangiano sin raíz cuadrada $$L_0(x,\dot{x})~:=~ g_{ij}(x) \dot{x}^i \dot{x}^j~\geq~0\tag{2}$$ conduce a la ecuación geodésica afín $$\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma}~=~0 , \tag{3}$$ cuyas soluciones son geodésicas parametrizadas por afinidad, es decir, la longitud del arco$s=a\lambda +b$es una función afín del parámetro$\lambda$.

2. Por otro lado, las ecuaciones EL

   $$\begin{align} \frac{\partial \sqrt{L_0}}{\partial x^i}-\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial \sqrt{L_0}}{\partial \dot{x}^i}~\approx~&0 \cr\cr \Updownarrow~& \cr\cr \frac{\partial L_0}{\partial x^i}-\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L_0}{\partial \dot{x}^i} ~\approx~&-g_{ij}(x) \dot{x}^j\frac{d \ln L_0}{d\lambda}\end{align} \tag{4}$$ para un lagrangiano de raíz cuadrada$\sqrt{L_0}$conduce a la ecuación geodésica (no afín), cuyas soluciones son geodésicas arbitrariamente parametrizadas.

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