¿Por qué podemos asumir variables independientes cuando usamos multiplicadores de Lagrange en sistemas no holonómicos?

Dejalo ser$n$coordenadas$q^j$. El tratamiento de las restricciones no holonómicas en la Ref. 1 es insatisfactorio por varias razones, consulte, por ejemplo, esta y esta publicación relacionada con Phys.SE. Sin embargo, interpretamos que la pregunta de OP (v2) se trata principalmente de contar grados de libertad independientes en sistemas restringidos, y no tanto de restricciones no holonómicas per se. Por lo tanto, para ganar intuición, por simplicidad consideremos$m$ restricciones holonómicas

dónde$m\leq n$(y donde hemos suprimido la posible dependencia temporal explícita en la notación). Dadas algunas suposiciones de regularidad, en principio podemos resolver el$m$restricciones (A) localmente para que las coordenadas

convertirse en funciones de$n-m$coordenadas físicas independientes$\xi^a$, y$m$coordenadas$\varphi^{\alpha}$, de tal manera que localmente el$n-m$superficie de restricción dimensional

está parametrizado como

Así tenemos al menos dos formulaciones variacionales equivalentes:

1. Formalismo reducido: Reemplazar$q^j$con$g^j(\xi, \varphi=0)$en la acción$S[q]$. Variar la acción correspondiente$S[\xi]$wrt. el$n-m$variables independientes$\xi^a$.

2. Formalismo extendido: Reemplazar la acción$S[q]$con

   $$\tag{E} S[q,\lambda]=S[q]+\int\!dt~\lambda^{\alpha}f_{\alpha}(q).$$ Variar la acción correspondiente$S[\xi,\lambda]$wrt. el$n+m$variables independientes$q^j$y$\lambda^{\alpha}$.

El papel del$m$Multiplicadores de Lagrange$\lambda^{\alpha}$se puede ver como poner el$m$Variables$\varphi^{\alpha}=0$, de modo que sólo el$n-m$variables físicas$\xi^a$permanece, y la formulación (2) se reduce a (1).

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica, 3ª ed.; Sección 2.4.