Trabajo virtual: ¿Cómo se relaciona la fuerza aplicada con las coordenadas elegidas?

Una observación general.

Goldstein no está diciendo que las fuerzas aplicadas desaparezcan cuando uno "se transforma en coordenadas generalizadas", simplemente está diciendo que la ecuación

$$\begin{align} \sum_i \mathbf F_i^{(a)} \cdot \delta\mathbf r_i = 0 \end{align}$$ no implica necesariamente que las fuerzas aplicadas sean cero. Los desplazamientos infinitesimales virtuales deben respetar las restricciones, por lo que la ecuación anterior no se cumple para todos $\delta \mathbf r_i\in\mathbb R^3$, se cumple solo para desplazamientos infinitesimales que satisfacen las restricciones. Si no hubiera tales restricciones, entonces esa ecuación implicaría que las fuerzas aplicadas se desvanecen.

Ejemplo simple: partícula en la esfera.

Piense en un ejemplo simplificado: una sola partícula restringida para moverse en la superficie de una esfera. En ese caso, los desplazamientos infinitesimales virtuales permitidos son todos tangentes a la esfera, por lo que la ecuación anterior se reduce a

$$\begin{align} \mathbf F^{(a)}\cdot\delta \mathbf r=0, \end{align}$$ y se puede leer de la siguiente manera:

El producto escalar de la fuerza neta aplicada con cualquier vector tangente a la esfera es cero.

Esto solo implica que la fuerza aplicada debe ser normal a la superficie de la esfera, no significa que desaparezca.

Otra forma de pensar sobre esto, que es de lo que habla Goldstein cuando se refiere a la "independencia" de las coordenadas, es la siguiente. Cuando la partícula se mueve sobre la esfera, sus coordenadas cartesianas satisfacen

$$\begin{align} x^2 + y^2 + z^2 = R^2, \tag{sphere} \end{align}$$ dónde $R$es el radio de la esfera. Resulta que $$\begin{align} x\,\delta x + y\,\delta y + z\,\delta z = 0 \tag{$\star$} \end{align}$$ o más sucintamente $$\begin{align} \mathbf r \cdot \delta \mathbf r = 0. \end{align}$$ Esto significa que las coordenadas $x,y,z$no pueden variar independientemente unos de otros cuando la partícula se mueve sobre la esfera; de hecho están relacionados por la ecuación $(\star)$. Sin embargo, podemos "resolver" la restricción $(\mathrm{sphere})$arriba escribiendo las coordenadas cartesianas en términos de dos ángulos; $$\begin{align} x(\theta, \phi) &= R\sin\theta\cos\phi \\ y(\theta, \phi) &= R\sin\theta\sin\phi \\ z(\theta, \phi) &= R\cos\theta. \end{align}$$ Cuando hacemos esto, las dos coordenadas $\theta$y $\phi$ pueden variar independientemente porque están "bien adaptados" a la esfera, la superficie de restricción.

Suponiendo 1 partícula ($i$=1), y las coordenadas cartesianas mutuamente ortogonales ($x$,$y$,$z$), la fuerza aplicada viene dada por:

$${\bf F^{a}=\bf F_x^{a}+\bf F_y^{a}+\bf F_z^{a}}\tag1$$

Ahora, tenemos como dado:

$${\bf F^{(a)}}\cdot \delta{\bf r} = 0\tag2$$

Dado que las coordenadas son mutuamente ortogonales, podemos variarlas independientemente, lo que significa que, por ejemplo, podemos variar las coordenadas simplemente a lo largo de la$x$-eje:

$${\bf \delta r}={\bf \delta x}\tag3$$

Combinando (1), (2) y (3), obtenemos:

$${\left[\bf F_x^{a}+\bf F_y^{a}+\bf F_z^{a} \right ]}\cdot \delta{\bf x} = 0\tag4$$

que nos da${\bf F_x^{a}}=0$. Usando un razonamiento similar, podemos demostrar que el$y$y$z$componentes de la fuerza aplicada$\bf F^a$también son ambos iguales a cero.

I) Tal vez un ejemplo esté en orden: Considere un anillo de cortina en una barra de cortina .

el anillo de la cortina$^1$está obligado a moverse a lo largo de la$x$-eje. El sistema tiene un grado de libertad . La coordenada generalizada es$q\equiv x$. Tenga en cuenta en particular que la coordenada generalizada$q$no tiene restricciones, mientras que la posición${\bf r}$se limita a la$x$-eje. Los desplazamientos virtuales $\delta {\bf r}=\vec{\imath}\delta q$son por lo tanto también a lo largo de la$x$-eje.

El aplicado$^2$fuerza

$$\tag{1} {\bf F}^{(a)}~=~-mg\vec{\jmath} ~\neq~ 0$$

en el anillo es la gravedad en el$y$-dirección, que es perpendicular a la$x$-dirección. Por lo tanto, el principio del trabajo virtual se cumple.

$$\tag{2} {\bf F}^{(a)}\cdot \delta {\bf r} ~=~0.$$

II) Por el contrario, dado que no somos libres de variar$\delta {\bf r}$arbitrariamente en la ec. (2), no podemos deducir que${\bf F}^{(a)}$es cero En componentes el principio del trabajo virtual (2) se convierte en

$$\tag{3} F_x^{(a)} \delta q ~=~0$$

Dado que la coordenada generalizada$q$no tiene restricciones, deducimos deducir de (3) que

$$\tag{4} F_x^{(a)}~=~0.$$

Tenga en cuenta en particular que el principio del trabajo virtual (1) no dice nada sobre los otros componentes de la fuerza$F_y^{(a)}$y$F_z^{(a)}$. En otras palabras, sólo podemos deducir de (2) que

$$\tag{5} {\bf F}^{(a)} \perp \delta {\bf r},$$

es decir, eso${\bf F}^{(a)}$es perpendicular a la$x$-dirección.

III) Cuando Goldstein por debajo de la ec. (1.43) dice

Para igualar los coeficientes a cero, debemos transformar el principio en una forma que involucre los desplazamientos virtuales de los$q_i$, que son independientes,

quiere decir que (después de la transformación) podemos igualar los nuevos coeficientes a cero. No quiere decir que podamos igualar los antiguos coeficientes a cero.

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$^1$Tratemos el anillo como una partícula puntual e ignoremos la fricción por simplicidad.

$^2$Para la definición de fuerza aplicada, vea, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí y los enlaces allí. La fuerza de restricción sobre el anillo es la fuerza normal de la varilla, lo que asegura que el anillo no se caiga.