Aplicación de los multiplicadores de Lagrange en el principio de acción

En Mecánica clásica de Goldstein , sugiere el uso de multiplicadores de Lagrange para introducir ciertos tipos de restricciones holonómicas y no holonómicas en nuestra acción. El método que sugiere es definir un Lagrangiano modificado

$$L^{'}(\dot{q},q;t) = L(\dot{q},q;t) + \sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t),$$ dónde$f_{i}(\dot{q},q;t)$son$m$ecuaciones de restricción, y$L$el lagrangiano original. Luego procede a definir la acción.$S^{'} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L^{'}\,dt$y toma la variación de$S^{'}$ser cero, aplicando así el principio de Hamilton.

Mi confusión en este enfoque surge de la forma en que se introducen los multiplicadores de Lagrange. no veo porque$\sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t)$debe introducirse dentro de la integral.

En cálculo multivariable, el sistema de multiplicadores de Lagrange surge de la idea de que si queremos extremizar una función sujeta a ciertas restricciones, entonces el gradiente de la función será proporcional a una combinación lineal del gradiente de las ecuaciones de restricción. Aquí, la función en cuestión es la acción , no la lagrangiana. Entonces, siento que la resolución debería ser esa

$$\delta S + \delta \sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t) = 0;\, S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt$$ y no $$\delta S^{'} = 0; \, S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L^{'}\,dt.$$

Para mí, no está claro si esto tiene sentido o si los dos métodos son equivalentes.