Ecuaciones de Hamilton a partir de la formulación del corchete de Poisson

Question

Ecuaciones de Hamilton a partir de la formulación del corchete de Poisson

tiempo
Física
notación
diferenciación
corchetes de poisson
formalismo hamiltoniano

opistofulax

Refiriéndose a Wikipedia tenemos que la ecuación de movimiento para un $f(q, p, t)$ viene de la fórmula

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} F (pags, q, t) = \frac{\partial F}{\partial q} \frac{d q}{d t} + \frac{\partial F}{\partial pags} \frac{d pags}{d t} + \frac{\partial F}{\partial t} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p, q, t) = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial t} \tag{1} \end{equation}$ que es, en la notación de paréntesis de Poisson

\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d t} F (pags, q, t) = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial t} \end{matrix}

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p, q, t) = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} \tag{2}$ Ahora, muchos libros dicen que si queremos obtener las ecuaciones de Hamilton de aquí, solo tenemos que sustituir, respectivamente, por la primera y la segunda ecuación (

k = 1, \dots, 2 \cdot 3 N

$k= 1, \dots, 2\cdot3N$ ecuaciones en realidad, para un sistema con

N

$N$ partículas y

3

$3$ grados de libertad)

f (q, p, t) = q (t)

$f(q, p, t) = q(t)$ y

f (q, p, t) = p (t)

$f(q, p, t) = p(t)$ . Entonces deberías obtener las dos ecuaciones:

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} q = {q, H} + \frac{\partial q}{\partial t} \end{matrix}

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} q = \{q, H\} + \frac{\partial q}{\partial t}\tag{3}$ y

\begin{matrix} (4) & \frac{d}{d t} pags = {pags, H} + \frac{\partial pags}{\partial t} \end{matrix}

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p = \{p, H\} + \frac{\partial p}{\partial t}\tag{4}$ Entonces, para volver a las ecuaciones de Hamilton, deberíamos tener

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial pags}{\partial t} = \frac{\partial q}{\partial t} = 0, \end{matrix}

$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial q}{\partial t} = 0,\tag{5}$ pero porque es asi? ¿Por qué la derivada temporal parcial es cero, si

q

$q$ y

p

$p$ son función del tiempo?

eric torres

Probablemente debería conformarse con un solo orden para los argumentos de su función

f

$f$ . Como declaraste en tu primera oración, la aplicación de la regla de la cadena en la ecuación (1) dice "la derivada de

f

$f$ con respecto a su primera ranura por la derivada con respecto al tiempo de la cosa que estamos insertando en su segunda ranura,

q

$q$ , más (la misma frase con "primero" y "segundo" intercambiado y "

q

$q$ " reemplazadas con "

p

$p$ ") más la derivada de

f

$f$ con respecto a su tercer slot", lo cual es incorrecto.

Respuestas (4)

Ecuaciones de Hamilton a partir de la formulación del corchete de Poisson

Probablemente debería conformarse con un solo orden para los argumentos de su función $f$ . Como declaraste en tu primera oración, la aplicación de la regla de la cadena en la ecuación (1) dice "la derivada de $f$ con respecto a su primera ranura por la derivada con respecto al tiempo de la cosa que estamos insertando en su segunda ranura, $q$ , más (la misma frase con "primero" y "segundo" intercambiado y " $q$ " reemplazadas con " $p$ ") más la derivada de $f$ con respecto a su tercer slot", lo cual es incorrecto.

j murray · Answer 1

La confusión proviene de un poco de descuido matemático. Es un descuido útil ~~necesario~~ , porque como verá en un momento, la maquinaria completa es un dolor, pero es útil ver y tener en cuenta cuando surgen confusiones como esta.

Trayectorias de espacio de fase

No me tomaré la molestia de construir el paquete cotangente al espacio de configuración y todo ese lío; podemos comenzar con la noción intuitiva del espacio de fase $\Omega$ . Un punto $x\in\Omega$ puede ser etiquetado por la posición correspondiente $q$ y el impulso $p$ (es decir $x\equiv(q_x,p_x)$ ). Es importante tener en cuenta que $q$ y $p$ no son funciones de tiempo ni nada más, son solo números que etiquetan una ubicación particular en el espacio de fase.

A partir de aquí, consideramos la noción de trayectoria a través del espacio de fases. una trayectoria $\gamma$ es un mapa continuo que toma un número real (el tiempo) y lo asigna a un punto en el espacio de fase:

γ : R \to Ω

$\gamma:\mathbb{R} \rightarrow \Omega$

t \mapsto γ (t)

$t \mapsto \gamma(t)$

si nos alimentamos $\gamma$ un tiempo, nos dice la ubicación del sistema en el espacio de fases. A medida que avanzamos en el tiempo, la trayectoria nos dice cómo evoluciona el estado del sistema.

Variables dinámicas

Una variable dinámica $F$ toma un punto en el espacio de fase y un valor de tiempo y los asigna a un número real:

F : Ω \times R \to R

$F :\Omega\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

(q, pags, t) \mapsto F (q, pags, t)

$(q,p,t) \mapsto F(q,p,t)$

A continuación introducimos las funciones de proyección. $\mathcal{Q}$ y $\mathcal{P}$ , que asignan un punto particular en el espacio de fase a los valores correspondientes de $q$ y $p$ .

q : Ω \times R \to R

$\mathcal{Q}:\Omega\times\mathbb R \rightarrow \mathbb{R}$

(X, t) \mapsto q (X, t) \equiv q (q_{X}, {pags}_{X}, t) = q_{X}

$(x,t)\mapsto \mathcal{Q}(x,t)\equiv\mathcal{Q}\big(q_x,p_x,t\big) = q_x$ y

PAGS : Ω \times R \to R

$\mathcal{P}:\Omega\times\mathbb R \rightarrow \mathbb{R}$

(X, t) \mapsto PAGS (X, t) \equiv PAGS (q_{X}, {pags}_{X}, t) = {pags}_{X}

$(x,t) \mapsto \mathcal{P}(x,t)\equiv\mathcal{P}\big(q_x,p_x,t\big) = p_x$

Esencialmente, $\mathcal{Q}$ solo toma un punto en el espacio de fase y un tiempo y le dice la coordenada de posición mientras ignora la coordenada de impulso y el tiempo, mientras que $\mathcal{P}$ toma un punto en el espacio de fase y un tiempo y le dice el momento mientras ignora la coordenada de posición y el tiempo. Observe que estas dos funciones son ejemplos particulares de variables dinámicas independientes del tiempo, en el sentido de que $\frac{\partial \mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t}=0$ .

Variables dinámicas a lo largo de trayectorias espaciales de fase

Ahora podemos combinar estos dos conceptos. Dada una trayectoria $\gamma$ y una variable dinámica $F$ , podemos combinarlos para formar un mapa $F_\gamma$ que toma un solo número real $t$ y devuelve el valor de $F$ en el momento $t$ a lo largo de $\gamma$ :

F_{γ} : R \to R

$F_\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

t \mapsto F (γ (t), t)

$t \mapsto F\big(\gamma(t),t\big)$

Podemos aplicar esta definición a $\mathcal{Q}$ y $\mathcal{P}$ . Darse cuenta de

q_{γ} : R \to R

$\mathcal{Q}_\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

t \mapsto q (γ (t))

$t \mapsto \mathcal{Q}\big(\gamma(t)\big)$ asi que

Q_{γ} (t)

$\mathcal{Q}_\gamma(t)$ es la coordenada de posición del sistema en el momento

t

$t$ , tiempo

P_{γ} (t)

$\mathcal{P}_\gamma(t)$ es la coordenada de momento del sistema en el momento

t

$t$ .

Observe que para una variable dinámica dada $F$ , también podemos escribir que

F_{γ} (t) = F (γ (t), t) = F (q_{γ} (t), {PAGS}_{γ} (t), t)

$F_\gamma(t) = F\big(\gamma(t),t\big) = F\big(\mathcal{Q}_\gamma(t),\mathcal{P}_\gamma(t),t\big)$

Derivados Totales

Debido a que tales mapas son funciones de una sola variable, tiene sentido tomar una derivada total con respecto al tiempo. Esta es la tasa de cambio total de $F$ a lo largo de la trayectoria $\gamma$ :

\frac{d F_{γ}}{d t} \equiv \frac{\partial F}{\partial q} \frac{d q_{γ}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial pags} \frac{d {PAGS}_{γ}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial t}

$\frac{dF_\gamma}{dt} \equiv \frac{\partial F}{\partial q}\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial p}\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial t}$

ecuaciones de hamilton

Las ecuaciones de Hamilton son las ecuaciones diferenciales que gobiernan las trayectorias del espacio de fases. Sin profundizar en su derivación, nos dicen que

\frac{d γ}{d t} \equiv (\frac{d q_{γ}}{d t}, \frac{d {PAGS}_{γ}}{d t}) = (\frac{\partial H}{\partial pags}, - \frac{\partial H}{\partial q})

$\frac{d\gamma}{dt} \equiv \left(\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt},\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt}\right) = \left(\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p},-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q}\right)$ dónde

H

$\mathcal{H}$ es el hamiltoniano, otra variable dinámica más.

Una vez que el hamiltoniano

H : Ω \times R \to R

$\mathcal{H}:\Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

(q, pags, t) \mapsto H (q, pags, t)

$(q,p,t) \mapsto \mathcal{H}(q,p,t)$ se ha anotado, luego se han determinado todas las posibles trayectorias en el espacio de fase.

Soporte venenoso

Usando las ecuaciones de Hamilton, podemos reescribir la derivada total de la siguiente manera:

\frac{d F_{γ}}{d t} = \frac{\partial F}{\partial q} \frac{d q_{γ}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial pags} \frac{d {PAGS}_{γ}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial t} = (\frac{\partial F}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial pags} - \frac{\partial F}{\partial pags} \frac{\partial H}{\partial q}) + \frac{\partial F}{\partial t}

$\frac{dF_\gamma}{dt} = \frac{\partial F}{\partial q}\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial p}\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial t} = \left(\frac{\partial F}{\partial q}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} - \frac{\partial F}{\partial p}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}\right) + \frac{\partial F}{\partial t}$

Esto motiva la definición del corchete de Poisson de dos variables dinámicas:

{A, B} \equiv \frac{\partial A}{\partial q} \frac{\partial B}{\partial pags} - \frac{\partial A}{\partial pags} \frac{\partial B}{\partial q}

$\{A,B\} \equiv \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q}$

momento en el que podemos reescribir la fórmula de la derivada total por última vez:

\frac{d F_{γ}}{d t} = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial t}

$\frac{dF_\gamma}{dt} = \{F,H\} + \frac{\partial F}{\partial t}$

¡Todo listo! Observe que el lado derecho no menciona la trayectoria $\gamma$ , por una buena razón: una vez que especificamos el hamiltoniano y nuestra ubicación particular en el espacio de fase, entonces no queda libertad en la evolución del sistema (y, por lo tanto, no queda libertad en la evolución de ninguna variable dinámica).

El remate

Ahora estamos equipados para responder a su pregunta. Considere la función $\mathcal{Q}$ (la función que toma un punto del espacio de fase $(q,p)$ y devuelve su coordenada de posición $q$ ), así como la función asociada $\mathcal{Q}_\gamma$ que está asociado a una trayectoria espacial de fase. tenemos eso

q (q, pags, t) = q

$\mathcal{Q}(q,p,t) = q$ asi que

\frac{\partial q}{\partial q} = 1

$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial q} = 1$

\frac{\partial q}{\partial pags} = 0

$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial p} = 0$

\frac{\partial q}{\partial t} = 0

$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t} = 0$

y por lo tanto

\frac{d q_{γ}}{d t} = {q, H} + \frac{\partial q}{\partial t}

$\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} = \{\mathcal{Q},\mathcal{H}\}+\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t}$

= (\frac{\partial q}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial pags} - \frac{\partial q}{\partial pags} \frac{\partial H}{\partial q}) + \frac{\partial q}{\partial t}

$= \left(\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial q}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} - \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial p}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}\right) + \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t}$

= \frac{\partial H}{\partial pags}

$= \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}$

y de manera similar,

\frac{d {PAGS}_{γ}}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial q}

$\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

Así que ahí lo tienes. Cuando escribimos todo con detalles insoportables, no hay ambigüedad alguna. $q$ y $p$ son números, no funciones, por lo que diferenciarlos no tiene sentido. Cuando hacemos física, lo que en realidad estamos diferenciando son las funciones de proyección $\mathcal{Q}$ y $\mathcal{P}$ , así como sus funciones asociadas que se adjuntan a la trayectoria del espacio de fase $\gamma$ a lo largo de la cual evoluciona el sistema. Nuevamente, es crucial notar que $\mathcal{Q}$ y $\mathcal{Q}_\gamma$ están asociados entre sí, pero no son lo mismo .

Por supuesto, cuando hago física, no escribo todo esto, diferencio $q$ y $p$ como todos los demás. Pero es útil poder enmarcar los problemas en este contexto cuando surgen esos pequeños puntos de confusión.

¿Podría dar una referencia para esto. En el lagrangiano tanto q como $\dot{q}$ dependen explícitamente del tiempo. Y eso parece bastante intuitivo, las coordenadas y las coordenadas generalizadas cambiarán solo cuando cambie el tiempo, por lo tanto, dependen explícitamente del tiempo. Lo que has escrito se ve bien matemáticamente pero aún así no puede ser que las coordenadas dependan implícitamente del tiempo...
@Shashaank Coordenadas $q$ y $p$ no dependas del tiempo en absoluto . Son las etiquetas que damos a los puntos en el espacio (fase). ¿Qué cambio con el tiempo son las funciones $Q_\gamma(t)$ y $P_\gamma(t)$ , que dan las coordenadas del espacio de fase a lo largo de la trayectoria $\gamma$ en el momento $t$ .
@Shashaank Por convención, para ahorrar espacio y porque somos flojos, usamos $q$ y $p$ a veces como coordenadas espaciales (p. ej. $\{A,B\} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}$ ) y a veces como funciones dinámicas ( $\dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}$ ), pero esto puede ser confuso (como lo fue para el OP).
Entiendo ese punto tuyo. Pero considere el Lagrangiano. Lo escribimos explícitamente como $L(q(t), \dot{q}, t)$ . ¿Qué es esto según usted. ¿Quieres decir que en todas partes escribimos estas cosas el q es el $\dot{q}$ Las p nunca fueron funciones del tiempo. Las afirmaciones como "Lagrangian puede cambiar explícitamente con el tiempo o implícitamente si q cambia con el tiempo" que hacen Goldstein y otros no son correctas en el verdadero sentido con respecto a sus puntos. En la mecánica newtoniana, x siempre fue una función del tiempo y su derivada total con el tiempo es la misma que su derivada parcial con el tiempo.
$\theta$ es una coordenada generalizada para un péndulo simple. ¿No depende explícitamente del tiempo? ¿Cómo aplicará lo que dijo anteriormente en este caso? ¿Theta es solo una etiqueta? va cambiando con el tiempo
@Shashaank Para revisar todas sus preguntas, tendría que escribir una respuesta completamente nueva, y los comentarios no son para discusiones prolongadas. Si desea comprender cómo se aplica este formalismo a la mecánica lagrangiana, haga una nueva pregunta y la responderé.
Está bien. Gracias. Por favor, dame algo de tiempo y publicaré una nueva pregunta que consiste en todas estas dudas similares. Te daré el enlace aquí. Si lo deseas puedes escribir la respuesta ahí..

qmecanico · Answer 2

La derivada temporal "parcial" $\frac{\partial}{\partial t}$ significa en este contexto una diferenciación temporal explícita . Una función
$(q, pags, t) \mapsto F (q, pags, t)$ $(q,p,t)~\mapsto~ f(q,p,t)$ de fase espacio y tiempo se dice que tiene una dependencia temporal explícita a través de su último argumento $t$ y una dependencia temporal implícita a través de las variables del espacio de fase $q^i$ y $p_j$ . La derivada del tiempo total $df/dt$ luego está dada por la ecuación de OP. (1).
Breve explicación: para hacer OP's eq. (1) también funciona para las variables del espacio de fase
$F (q, pags, t) = q^{i} y F (q, pags, t) = {pags}_{j}$ $f(q,p,t)=q^i\quad\text{and}\quad f(q,p,t)=p_j$ en sí mismos, es natural (y útil en la práctica) declarar pragmáticamente que dependen por definición sólo implícitamente del tiempo.
Explicación más larga: tenga en cuenta que los físicos (a diferencia de los matemáticos) a menudo usan la misma notación para una función y su valor en un punto. Por lo tanto, a veces puede resultar difícil conocer la lista de argumentos de una función. En el presente caso, la noción de variables del espacio de fase $q^i$ y $p_j$ puede tener una lista diferente de argumentos
$q^{i} (q, pags, t) = q^{i} y {pags}_{j} (q, pags, t) = {pags}_{j}$ $q^i(q,p,t)=q^i\quad\text{and}\quad p_j(q,p,t)=p_j$ versus $t \mapsto q^{i} (t) y t \mapsto {pags}_{j} (t)$ $t~\mapsto~ q^i(t)\quad\text{and}\quad t~\mapsto~ p_j(t)$ dependiendo del contexto. La dependencia implícita y explícita sólo se definen en sentido estricto en el primer caso.
Consulte también esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.

Ok, veo la diferencia matemática entre la derivada parcial y la derivada total, mi duda era más sobre la mecánica hamiltoniana, en particular sobre la dependencia del tiempo de $q_i(t)$ y $p_i(t)$ ... ¿Cómo puedes decir que su dependencia es implícita? ¿Conoces algún libro de texto que especifique este aspecto de forma matemáticamente rigurosa? Gracias de cualquier manera
Asi que, $q$ arena $p$ s dependen del tiempo solo implícitamente por definición, ¿es así?
@qmecanico $\theta$ es una coordenada generalizada para un péndulo simple. ¿No depende explícitamente del tiempo?

DanielC · Answer 3

No estoy de acuerdo con la última parte de la respuesta de Qmechanic. Desde un punto de vista matemático, las variables del espacio fase dependen explícitamente del tiempo, ya que el tiempo (como parámetro de las curvas en el espacio fase) es su única variable funcional. Si tuviéramos, digamos $q^{i} (t) = q^{i} (z(t))$ , entonces sí, la dependencia del tiempo habría sido implícita (es decir, a través de otra función $z(t)$ ).

Volviendo a la pregunta en el OP. Las funciones $q^i (t)$ y $p_i (t)$ tienen una sola variable independiente, a saber, el tiempo $t$ . La ecuación de movimiento para un observable genérico en el espacio de fase $F (q,p,t)$ no se aplica a ellos , porque la dependencia del tiempo de estas funciones $q$ y $p$ , en comparación con el observable, NO es tanto implícito como explícito, solo es explícito. Esto se puede reformular para decir que $q^i (q^i(t),p_i (t), t)$ no es una F válida. Ni siquiera tiene sentido matemáticamente (de manera similar $p_i (q^i(t),p_i (t), t)$ ).

Estoy de acuerdo con la primera parte de tu razonamiento, pero no con el segundo párrafo, ya que la función $f$ en la ecuación de movimiento de Poisson no debe ser función de ambos $q$ 'arena $p$ 's, au contraire puedo elegir cualquier función como $f$ , En particular $q$ y $p$ , como también se puede leer en este libro bajo el párrafo 4.3 El corchete de Poisson .
Sé que este punto que planteaste también está presente en el libro de Goldstein, 3ª ed. pags. 297, o José y Saletán, p. 218,219. No está presente en el libro de Landau & Lifschitz, ni en los matemáticos de VI Arnold, luego de Abraham & Marsden "Fundamentos de la mecánica" (2ª Ed.), y también de Thirring. Acabo de decirle que la F arbitraria con dependencia temporal tanto explícita como implícita no puede convertirse simplemente en p o q, porque no tienen la misma dependencia funcional temporal que la F.
¿Cómo funciona el oscilador armónico hamiltoniano? $\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kq^2$ depender explícitamente de $t$ ?
@DanielC ¿Qué respondería a la pregunta anterior? Estoy completamente de acuerdo con lo que dices y tenía esta duda desde hace más de un año. Creo que entonces el oscilador armónico no es una función explícita del tiempo, solo una función implícita a través de q y p. Está bien. ¿Eso diría usted también considerando que nuestro razonamiento en estas líneas es el mismo

Othin · Answer 4

Una forma en que puedes verlo es que a través de tu razonamiento estás, en cierto sentido, tratando las cantidades de interés en diferentes espacios matemáticos. Cierto, q y p son funciones en el tiempo, pero ¿cómo escribirías el hamiltoniano? La misma derivación de estas fórmulas supone que F y H se describen como funciones de posición y cantidad de movimiento. Si desea describir q y p explícitamente como funciones del tiempo, debe hacerlo de manera consistente, de modo que sustituya esas relaciones explícitas en H y Ftambién. Cuando haga eso, terminará con funciones de t solo, de modo que las derivadas parciales de estas cantidades con respecto a q y p, y por lo tanto {F, H} son cero. Las derivadas parciales y totales de F serán lo mismo, por lo que terminarás con las ecuaciones triviales

$\frac{dq}{dt}=\frac{dq}{dt}$ y $\frac{dp}{dt}=\frac{dp}{dt}$ ,

los cuales son ciertos, por supuesto, pero el formalismo de paréntesis no será muy útil si se usa esa descripción. Si, por otro lado, describimos el sistema a través de las variables q y p, entonces, por supuesto, q=q(q), p=p(p), no tienen una dependencia temporal explícita cuando las ves de esa manera.

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