Derivada a tiempo completo, corchetes de Poisson y ecuaciones de Hamilton (mecánica clásica)

Question

Derivada a tiempo completo, corchetes de Poisson y ecuaciones de Hamilton (mecánica clásica)

tiempo
Física
diferenciación
corchetes de poisson
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano

janek_kozicki

Mientras estudiaba los soportes de Poisson en mecánica clásica y la derivación de $\dot{q_j}=\{q_j,H\}$ y $\dot{p_j}=\{p_j,H\}$ forma de las ecuaciones de Hamilton encontré una identidad sorprendente, lo que me llevó a pensar que tal vez me equivoqué en algo sobre la derivada de tiempo completo, que es la siguiente:

\frac{d F (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{norte}, {pag}_{1}, {pag}_{2}, \dots, {pag}_{norte}, t)}{d t} = \sum_{j = 1}^{norte} (\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \underset{= \dot{q_{j}} = \frac{\partial H}{\partial {pag}_{j}}}{\underset{⏟}{\frac{\partial q_{j}}{\partial t}}} + \frac{\partial F}{\partial {pag}_{j}} \underset{= \dot{{pag}_{j}} = - \frac{\partial H}{\partial q_{j}}}{\underset{⏟}{\frac{\partial {pag}_{j}}{\partial t}}}) + \frac{\partial F}{\partial t} = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial t}

$\frac{d\,f(q_1,q_2,\dots,q_N,p_1,p_2,\dots,p_N,t)}{dt}=\sum_{j=1}^{N}\left( \frac{\partial f}{\partial q_j} \underbrace{\frac{\partial q_j}{\partial t}}_{=\dot{q_j}=\frac{\partial H}{\partial p_j}}+ \frac{\partial f}{\partial p_j} \underbrace{\frac{\partial p_j}{\partial t}}_{=\dot{p_j}=-\frac{\partial H}{\partial q_j}} \right)+\frac{\partial f}{\partial t} =\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}$

Ahora bien, si por ejemplo uso la función $f$ como $q_k$ , diciendo: $f(q_1,q_2,\dots,q_N,p_1,p_2,\dots,p_N,t)=q_k$ entonces obtengo lo siguiente:

\frac{d q_{k}}{d t} = \sum_{j = 1}^{norte} (\underset{= d_{k j}}{\underset{⏟}{\frac{\partial q_{k}}{\partial q_{j}}}} \frac{\partial H}{\partial {pag}_{j}} - \underset{= 0}{\underset{⏟}{\frac{\partial q_{k}}{\partial {pag}_{j}}}} \frac{\partial H}{\partial q_{j}}) + \frac{\partial q_{k}}{\partial t} = {q_{k}, H} + \frac{\partial q_{k}}{\partial t} = \underset{= \dot{q_{k}}}{\underset{⏟}{\frac{\partial H}{\partial {pag}_{k}}}} + \underset{\overset{?}{=} \dot{q_{k}}}{\underset{⏟}{\frac{\partial q_{k}}{\partial t}}} \overset{?}{=} 2 \dot{q_{k}}

$\frac{dq_k}{dt}=\sum_{j=1}^{N}\left( \underbrace{\frac{\partial q_k}{\partial q_j}}_{=\delta_{kj}} \frac{\partial H}{\partial p_j}- \underbrace{\frac{\partial q_k}{\partial p_j}}_{=0} \frac{\partial H}{\partial q_j} \right)+\frac{\partial q_k}{\partial t} =\{q_k,H\}+\frac{\partial q_k}{\partial t} = \underbrace{\frac{\partial H}{\partial p_k}}_{=\dot{q_k}} + \underbrace{\frac{\partial q_k}{\partial t}}_{\stackrel{?}{=}\dot{q_k}}\stackrel{?}{=}2\dot{q_k}$

Si tacho la $\frac{\partial q_k}{\partial t}$ en ambos lados de la ecuación $\{q_k,H\}+\frac{\partial q_k}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial p_k}+\frac{\partial q_k}{\partial t}$ luego recupero la ecuacion de hamilton $\dot{q_k}=\{q_k,H\}$ . Pero si no hago esto y sigo adelante con el $2\dot{q_k}$ que aparece al final obtengo esta identidad muy sorprendente:

\frac{d q_{k}}{d t} \overset{?}{=} 2 \dot{q_{k}}

$\frac{dq_k}{dt}\stackrel{?}{=}2\dot{q_k}$

o escrito de otra manera:

\frac{d q_{k}}{d t} \overset{?}{=} 2 \frac{\partial q_{k}}{\partial t}

$\frac{dq_k}{dt}\stackrel{?}{=}2\frac{\partial q_k}{\partial t}$

Mi pregunta es la siguiente: ¿es esto realmente cierto? Si no, ¿qué he hecho mal? En caso afirmativo, ¿por qué no se menciona en ninguna parte de los libros de texto? ¿No sería esa otra forma de encontrar el $\dot{q_k}$ ?

Nota: La derivación es exactamente la misma para $\dot{p_k}$ .

EDITAR : Gracias a sus respuestas, marqué ahora las igualdades incorrectas con $\stackrel{?}{=}$ ya que odio ver matemáticas incorrectas escritas. Pero aún quería preservar esta pregunta tal como estaba escrita al principio. También en la primera ecuación la derivada de tiempo completo para $\dot{q_j}$ y $\dot{p_j}$ debe usarse así:

\frac{d F}{d t} = \sum_{j = 1}^{norte} (\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \underset{= \dot{q_{j}} = \frac{\partial H}{\partial {pag}_{j}}}{\underset{⏟}{\frac{d q_{j}}{d t}}} + \frac{\partial F}{\partial {pag}_{j}} \underset{= \dot{{pag}_{j}} = - \frac{\partial H}{\partial q_{j}}}{\underset{⏟}{\frac{d {pag}_{j}}{d t}}}) + \frac{\partial F}{\partial t}

$\frac{df}{dt}=\sum_{j=1}^{N}\left( \frac{\partial f}{\partial q_j} \underbrace{\frac{d q_j}{d t}}_{=\dot{q_j}=\frac{\partial H}{\partial p_j}}+ \frac{\partial f}{\partial p_j} \underbrace{\frac{d p_j}{d t}}_{=\dot{p_j}=-\frac{\partial H}{\partial q_j}} \right)+\frac{\partial f}{\partial t}$

AccidentalFourierTransformar

porque

\frac{\partial q_{k}}{\partial t} = 0 \neq {\dot{q}}_{k}

$\frac{\partial q_k}{\partial t}=0\neq \dot q_k$ .

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/9122/2451 y enlaces allí.

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Derivada a tiempo completo, corchetes de Poisson y ecuaciones de Hamilton (mecánica clásica)

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SuperCiocia · Answer 1

El problema es que estás equiparando demasiadas cosas para $\dot{q_k}$ .

Generalmente $\dot{q_k} = \frac{dq_k}{dt}$ , una derivada total , a diferencia de una derivada parcial .

Si $q_k$ no tiene una dependencia temporal explícita , es decir, no depende directamente de $t$ mismo, entonces $\frac{\partial q_k}{\partial t} = 0.$

En este caso, el corchete de Poisson se reduce a: $\frac{dq_k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}$ , así que ahora puedes decir $\dot{q_k} = \frac{\partial H}{\partial p_k}$ .

Si ahora considera su $q_k$ tener una dependencia del tiempo, por lo que $q_k(t)$ , el corchete de Poisson se convierte, como has señalado: $\frac{dq_k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}+\frac{\partial q_k}{\partial t}$ , entonces $\dot{q_k} =\frac{\partial H}{\partial p_k} +\frac{\partial q_k}{\partial t}$ .

ADICIÓN después de la discusión en los comentarios:

$\frac{d}{dt}f$ es una derivada total con respecto al tiempo, lo que significa que selecciona TODAS las dependencias temporales de $f(t, x(t), y(t), z(t))$ . En conjunto, llamar $x,y,z$ como $\{x_i\}$ .

Usando la regla de la cadena,

\frac{d}{d t} = \frac{\partial}{\partial X_{i}} \frac{\partial X_{i}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial t} \underset{1}{\underset{⏟}{\frac{\partial t}{\partial t}}} = tu \cdot \nabla + \frac{\partial}{\partial t} .

$\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\frac{\partial t}{\partial t}}_1 = \mathbf{u}\cdot\mathbf{\nabla}+\frac{\partial}{\partial t}.$

En la mecánica hamiltoniana, parametrizas una función en términos de sus posiciones $\{q_i\}$ y sus momentos $\{p_i\}$ . Básicamente el $\{x_i\}$ de antes son ahora $\{q_i, p_i\}$ .

\frac{d F}{d t} = \frac{\partial F}{\partial X_{i}} \frac{\partial X_{i}}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial {pag}_{i}} \frac{\partial {pag}_{i}}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial t} .

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial t}.$

La definición del corchete de Poisson es:

{F, H} = (\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial {pag}_{i}} - \frac{\partial F}{\partial {pag}_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}) .

$\{f,H\}=\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right).$

Conectando las ecuaciones de Hamilton:

{F, H} = (\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial {pag}_{i}} \frac{d {pag}_{i}}{d t}),

$\{f,H\}=\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{dq_i}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{dp_i}{dt} \right),$ cuando

q_{i}

$q_i$ y

p_{i}

$p_i$ son las variables fundamentales, por lo que no son funciones de

x, y, z

$x, y, z$ pero solo el tiempo. Esto significa que, aplicando la fórmula anterior,

\frac{\partial q_{i}}{\partial t} = \frac{d q_{i}}{d t}

$\frac{\partial q_i}{\partial t} = \frac{dq_i}{dt}$ , entonces:

{F, H} = (\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial {pag}_{i}} \frac{\partial {pag}_{i}}{\partial t}) .

$\{f,H\}=\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t} \right).$

Como se puede ver $\frac{\partial f}{\partial t}$ no entra en la definición.

En conclusión,

\frac{d F}{d t} = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial t} .

$\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}.$

PD He estado usando la convención de suma de Einstein: los índices repetidos implican suma.

\frac{\partial F}{\partial {pag}_{i}} \frac{\partial {pag}_{i}}{\partial t} = \sum_{i = 1}^{norte} \frac{\partial F}{\partial {pag}_{i}} \frac{\partial {pag}_{i}}{\partial t} .

$\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t} = \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t}.$

Muchas gracias, pero en ese caso la definición de libro de texto del corchete de Poisson se vuelve problemática ya que usa $\frac{\partial q_j}{\partial t}$ y se convierte en cero. quiero decir esto $\{f,H\}=\sum_{j=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_j}\underbrace{\frac{\partial q_j}{\partial t}}_{=0}+\frac{\partial f}{\partial p_j}\underbrace{\frac{\partial p_j}{\partial t}}_{=0} \right)$ . ¿O tenemos tres tipos diferentes de derivados aquí, y simplemente no sabía nada de eso? Oh, espera
Oh, espera, tal vez sea correcto si lo escribo de esta manera: $\{f,H\}=\sum_{j=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_j}\frac{dq_j}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{dp_j}{dt} \right)$ ?
Permítanme agregar algo a mi pregunta, veamos si eso responde a más de sus preguntas.
¿Tengo razón en que es fundamental para comprender este problema la dependencia del tiempo: al conectar las ecuaciones de Hamilton $q_i(t)$ depende de una sola variable dentro del corchete de Poisson: $\frac{dq(t)_i}{dt}=\frac{\partial q(t)_i}{\partial t}$ , mientras que en otra situación $\frac{\partial q(NOT\,t)_i}{\partial t}=\frac{\partial q()_i}{\partial t}=0$ al usar la función $f(q_1,q_2,\dots,q_N,p_1,p_2,\dots,p_N,t)=q_i()$ en fórmula $\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial q()_i}{\partial t}$ ?
si q no tiene una dependencia temporal explícita, es decir, q(x) y NO q(t), aunque x(t), entonces parcial_t q = total_t q, sí.

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