Valor esperado de la derivada temporal del operador frente a la derivada temporal después del operador

El problema 3.18 de la Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths (3.ª ed.) pide aplicar el teorema de Ehrenfest generalizado a operadores como el hamiltoniano y el operador de momento. El propósito del ejercicio es hacer que las fórmulas clásicas salgan de las ecuaciones. La forma general es:

d ⟨ q ⟩ d t = i ℏ [ H ^ , q ^ ] + ⟨ ∂ q ∂ t ⟩ .
Ahora, cuando apliqué esto al hamiltoniano en un potencial estacionario, mi intuición me dijo que tendría que convertirse en:

d ⟨ H ⟩ d t = 0 ,

porque esto parece hacer referencia a la conservación de la energía. De manera similar, para el impulso, deberíamos obtener:

metro ⟨ a ⟩ = ⟨ − ∂ V ∂ X ⟩ ,

que sé que se parece a la segunda ley de Newton en el potencial de una fuerza conservativa. El problema que me di cuenta al resolver estos, fue que no era evidente que ⟨ ∂ H ^ / ∂ t ⟩ = 0 o ⟨ ∂ pag ^ / ∂ t ⟩ = 0 : particularmente, dado que los operadores lineales (parecen) siempre actúan multiplicativamente, estaba interpretando ⟨ ∂ pag ^ / ∂ t ⟩ como sigue:

⟨ ∂ pag ^ ∂ t ⟩ = ⟨ Ψ ( X , t ) ∣ ∂ pag ^ ∂ t Ψ ( X , t ) ⟩ = ∫ − ∞ + ∞ Ψ ( X , t ) ¯ ( ∂ pag ^ ∂ t ) Ψ ( X , t ) d X = ∫ − ∞ + ∞ Ψ ( X , t ) ¯ ∂ ∂ t ( pag ^ Ψ ( X , t ) ) d X

Claramente no soy el único que tiene problemas para interpretar dicha derivada, y hasta ese punto, creo que mis preocupaciones han sido respondidas en los hilos vinculados (debemos fingir que la derivada nos obliga a mirar q ^ como si fuera una función que pudiera depender explícitamente del tiempo, y derivar el propio operador como tal).

Sin embargo, me hizo preguntarme: ¿qué pasa si quiero expresar "el valor esperado del operador que se aplica ∂ / ∂ t después de aplicar q ^ "? La notación utilizada en el teorema de Ehrenfest generalizado no debe interpretarse como tal, por lo que la única otra forma que pude ver para expresar esto es escribir

⟨ ∂ ∂ t q ^ ⟩ .
¿Es esto correcto? ¿Por qué la notación multiplicativa de operadores no se aplica en este teorema, pero en todos los demás (hasta donde yo sé por haber leído 130 páginas), sí?

Respuesta muy corta: ∂ / ∂ t no es un operador. El espacio de estados es el espacio de funciones de onda en un tiempo fijo, no funciones de X y t .
@Javier: Eso tiene sentido en su mayor parte. Sin embargo, en la derivación del teorema, vemos términos de la forma ⟨ ∂ Ψ ∂ t ∣ q ^ Ψ ⟩ y ⟨ Ψ ∣ q ^ ∂ Ψ ∂ t ⟩ . Supongo que esos no cuentan como valores esperados de los operadores, entonces (¿solo productos internos entre dos funciones)? Editar: puede agregar su comentario como respuesta a continuación, y lo aceptaré.

Respuestas (1)

En la imagen de Schrödinger, el espacio de Hilbert H es físicamente el conjunto de estados en un momento dado. Una función como ψ ( X , t ) no es un estado, sino una evolución temporal de un estado. Los operadores tampoco son a priori dependientes del tiempo: toman funciones de X y funciones de retorno de X . Un operador dependiente del tiempo es realmente una función con valor de operador; tiene un operador dependiente del tiempo si, para aplicarlo a una función de onda ψ ( X ) también necesita saber a qué hora está tomando la función de onda. Este no es el caso de ninguno de los dos X o PAG .

Esto también muestra que ∂ / ∂ t no es un operador en el sentido cuántico de la palabra, porque actúa sobre evoluciones temporales de estados, no sobre estados. no puedes aplicar ∂ / ∂ t a ψ ( X ) . Y como dices en tu comentario, cosas como

⟨ Ψ | q ^ ∂ Ψ ∂ t ⟩

no son valores esperados, solo productos internos; productos internos dependientes del tiempo, de hecho. Necesitas un estado en evolución | Ψ ( t ) ⟩ para que tenga sentido.

Valor esperado de la derivada temporal del operador frente a la derivada temporal después del operador
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