¿Cuándo la derivada temporal total del hamiltoniano es igual a su derivada temporal parcial?

afirmo que

Las derivadas temporales parciales y totales del hamiltoniano son iguales siempre que el hamiltoniano se evalúe en una solución a las ecuaciones de movimiento de Hamilton.

Por simplicidad conceptual, restrinjamos la discusión a sistemas con un espacio de fase bidimensional$\mathcal P$con coordenadas generalizadas$(q,p)$.

Es importante tener en cuenta lo que significan la derivada de tiempo total y la derivada de tiempo parcial en este contexto. En particular, recuerde que el hamiltoniano es una función que mapea un par que consiste en un punto$(q,p)$en el espacio fase y un punto$t$en el tiempo, a un número real$H(q,p,t)$. Cuando decimos que estamos tomando la derivada temporal parcial de$H$, queremos decir que estamos tomando una derivada con respecto a su último argumento (en mi notación). Cuando decimos que estamos tomando una derivada de tiempo total, tenemos en mente evaluar los argumentos de espacio de fase del hamiltoniano en un camino parametrizado$(q(t), p(t))$en el espacio de fase, luego tomando la derivada con respecto a$t$de la expresión resultante, así;

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\Big(H(q(t), p(t), t)\Big) \end{align}$$ Si usamos la regla de la cadena, encontramos que esta derivada de tiempo total se puede relacionar con la derivada de tiempo parcial de $H$como sigue: $$\begin{align} \frac{d}{dt}\Big(H(q(t), p(t), t)\Big) = \frac{\partial H}{\partial q}(q(t), p(t), t) \dot q(t) + \frac{\partial H}{\partial p}(q(t), p(t), t) \dot p(t) + \frac{\partial H}{\partial t}(q(t), p(t), t) \end{align}$$ Deliberadamente no he abreviado la notación aquí para hacer explícito qué está pasando exactamente para que no haya confusión. Por ejemplo, la expresión $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial q}(q(t), p(t), t) \end{align}$$ significa que tomamos la derivada parcial de $H$con respecto a su primer argumento (que etiqueté $q$), luego evalúo la función resultante en $(q(t), p(t), t)$. Ahora la pregunta es, ¿cuándo son iguales las derivadas temporales totales y parciales? Bueno, la relación entre ellos que derivamos arriba muestra que esto sucede si y solo si las otras cosas en la ecuación desaparecen; $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial q}(q(t), p(t), t) \dot q(t) + \frac{\partial H}{\partial p}(q(t), p(t), t) \dot p(t)=0 \end{align}$$ Note, ahora, que esta ecuación definitivamente no se cumple para un camino general $(q(t), p(t))$en el espacio de fase. Te dejaré a ti encontrar un contraejemplo simple. Entonces, ¿para qué caminos se sostiene esta relación? Bien, observe que esta relación se cumple siempre que el camino satisfaga las ecuaciones de Hamilton; $$\begin{align} \dot q(t) &= \frac{\partial H}{\partial p}(q(t), p(t), t) \\ \dot p(t) &= -\frac{\partial H}{\partial q}(q(t), p(t), t) \end{align}$$ En otras palabras, hemos demostrado la afirmación con la que comencé.