Ecuaciones de campo métricas para la acción de Jordan-Brans-Dicke

Question

Ecuaciones de campo métricas para la acción de Jordan-Brans-Dicke

Física
tensor-métrico
gravedad modificada
relatividad general
formalismo lagrangiano
cálculo variacional

MicrosoftBruh

Considerando la acción Jordan-Brans-Dicke:

S = \int d^{4} X \sqrt{- gramo} (ϕ R + \frac{ω}{ϕ} (\partial ϕ)^{2} + L_{metro} (ψ)) .

$S=\int d^4x\sqrt{-g}\left(\phi R+\frac\omega\phi(\partial\phi)^2+\mathfrak{L_{m}}(\psi)\right).$

Estaba tratando de obtener las ecuaciones del campo métrico variando la métrica y obtuve esto:

- \frac{1}{2} {gramo}_{m v} R + R_{m v} + \frac{ω}{ϕ^{2}} [- \frac{1}{2} {gramo}_{m v} (\partial ϕ)^{2} + \partial_{m} ϕ \partial_{v} ϕ] - \frac{1}{2 ϕ} {gramo}_{m v} L_{metro} (ψ) = 0

$-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+R_{\mu\nu}+\frac{\omega}{\phi^2}[-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}(\partial\phi)^2+\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi]-\frac{1}{2\phi}g_{\mu\nu}\mathfrak{L_{m}}(\psi)=0$

Varié los términos $\sqrt{-g}$ , $R_{\mu\nu}$ , $g^{\mu\nu}$ y $\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi g^{\mu\nu}$ . Si solo nos preocupamos por las ecuaciones del campo métrico, ¿es así? Si quisiera las ecuaciones para el campo gravitacional tendríamos que variar la métrica y el campo $\phi$ ¿bien?

EDITAR: En la segunda regla de Leibniz, consideré:

- \nabla^{α} \nabla_{α} ({gramo}_{m v} ϕ d {gramo}^{m v}) = - {gramo}_{m v} \nabla^{α} \nabla_{α} (ϕ) d {gramo}^{m v} - {gramo}_{m v} \nabla^{α} (ϕ) \nabla_{α} (d {gramo}^{m v}) - {gramo}_{m v} \nabla_{α} (ϕ) \nabla^{α} (d {gramo}^{m v}) - {gramo}_{m v} ϕ \nabla^{α} \nabla_{α} (d {gramo}^{m v})

$-\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu}\phi\delta g^{\mu\nu}) = -g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi) \delta g^{\mu\nu}-g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha} (\phi)\nabla_{\alpha}(\delta g^{\mu\nu})-g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha} (\phi)\nabla^{\alpha}( \delta g^{\mu\nu})-g_{\mu\nu} \phi \nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\delta g^{\mu\nu})$

Saqué la métrica para no tener que lidiar con 6 términos. Los que queremos son solo el primero y el segundo en el RHS de esta ecuación

Nadie

¿Qué pasó con el término /phi R?

MicrosoftBruh

Dividí toda la ecuación por

ϕ

$\phi$ y ese seria el primer termino que aparece

Nadie

Eso está mal. Hay que integrar por partes.

Nadie

Ya has aplicado la primera derivada covariante. Tienes que hacerlo una vez más con la otra derivada covariante.

MicrosoftBruh

¿Qué quieres decir? Ya apliqué los dos. ¿Qué estoy confundiendo dónde?

Nadie

Aplicó ambos al mismo tiempo.

MicrosoftBruh

Apliqué

\nabla_{α}

$\nabla_{\alpha}$ primero a

g_{μ ν} ϕ δ g^{μ ν}

$g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu}$ y luego

\nabla^{α}

$\nabla^{\alpha}$ a los 2 términos que obtenemos de la primera derivada covariante, ya que uno de ellos es la derivada covariante del tensor métrico, que entonces me da 4 términos.

Nadie

Verifique mi respuesta aquí, puede ayudar: physics.stackexchange.com/questions/128501/…

Respuestas (1)

Ecuaciones de campo métricas para la acción de Jordan-Brans-Dicke

Dividí toda la ecuación por $\phi$ y ese seria el primer termino que aparece
Ya has aplicado la primera derivada covariante. Tienes que hacerlo una vez más con la otra derivada covariante.
¿Qué quieres decir? Ya apliqué los dos. ¿Qué estoy confundiendo dónde?
Apliqué $\nabla_{\alpha}$ primero a $g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu}$ y luego $\nabla^{\alpha}$ a los 2 términos que obtenemos de la primera derivada covariante, ya que uno de ellos es la derivada covariante del tensor métrico, que entonces me da 4 términos.
Verifique mi respuesta aquí, puede ayudar: physics.stackexchange.com/questions/128501/…

Nadie · Answer 1

El $\delta(\phi R)$ término será:

d (ϕ R) = d (ϕ {gramo}^{m v} R_{m v}) = ϕ d {gramo}^{m v} R_{m v} + ϕ d R_{m v} {gramo}^{m v}

$\delta(\phi R) = \delta(\phi g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}) = \phi\delta g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} +\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$

El término: $\phi\delta g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ listo, aquí la variación del tensor métrico inverso ya es un factor multiplicador. Ahora el segundo término es:

ϕ d R_{m v} {gramo}^{m v} = ϕ ({gramo}_{m v} ◻ - \nabla_{m} \nabla_{v}) d {gramo}^{m v}

$\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu} = \phi (g_{\mu\nu}\Box - \nabla_{\mu}\nabla_{\nu})\delta g^{\mu\nu}$

donde he usado la Identidad Palatini. Ahora tenemos por ejemplo para el término de caja:

ϕ {gramo}_{m v} ◻ d {gramo}^{m v} = ϕ {gramo}_{m v} \nabla^{α} \nabla_{α} d {gramo}^{m v} = \nabla^{α} (ϕ {gramo}_{m v} \nabla_{α} d {gramo}^{m v}) - \nabla^{α} ϕ {gramo}_{m v} \nabla_{α} d {gramo}^{m v}

$\phi g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} = \phi g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu} =\nabla^{\alpha}(\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu}) -\nabla^{\alpha}\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu}$

El primer término es una derivada total. Lo ignoraremos como un término límite. Ahora usamos la regla de Leibniz una vez más:

- \nabla^{α} ϕ {gramo}_{m v} \nabla_{α} d {gramo}^{m v} = - \nabla^{α} \nabla_{α} ({gramo}_{m v} ϕ d {gramo}^{m v}) + {gramo}_{m v} d {gramo}^{m v} \nabla^{α} \nabla_{α} (ϕ)

$-\nabla^{\alpha}\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu} = -\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu}\phi\delta g^{\mu\nu}) + g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi)$

donde he usado la compatibilidad métrica. Entonces tenemos:

ϕ {gramo}_{m v} ◻ d {gramo}^{m v} = {gramo}_{m v} d {gramo}^{m v} \nabla^{α} \nabla_{α} (ϕ) = {gramo}_{m v} d {gramo}^{m v} ◻ ϕ

$\phi g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} = g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi) = g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} \Box \phi$ Se tiene que hacer el mismo procedimiento para las dos derivadas covariantes. Los otros términos parecen correctos.

El problema aquí es que el Escalar de Ricci está acoplado con $\phi$ . Cuando me encontré por primera vez con estos términos de acoplamiento, tuve el mismo problema. En el contexto de la relatividad general, la acción es:

S = \int d^{4} X \sqrt{- gramo} R .

$S = \int d^4x \sqrt{-g}R.$

La variación da lugar al término $g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$ . Podemos demostrar que este término es un término derivado total y cancelarlo. En el contexto de Brans Dicke (u otras modificaciones geométricas de Einstein Gravity, $f(R)$ por ejemplo, Horndeski, o campos de materia no mínimamente acoplados a la gravedad) este término ya no es una divergencia total. Aquí, este término es: $\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$ . $\phi$ complica las cosas, ahora no podemos descartar este término tal como está, no es un término derivado total. Por lo tanto, seguimos el procedimiento que describí anteriormente.

Respecto a la segunda parte de la pregunta, sí hay que variar también con respecto a $\phi$ . Aquí $\phi$ no es un campo de materia, es una cantidad geométrica.

¡Gracias! En todas las variaciones de acción que he hecho hasta ahora, R no estaba acoplado con ningún otro campo, así que simplemente lo hago rápido afirmando la identidad de Palatini y el teorema de Gauss y digo que es cero.
Entiendo tu situación al 100%. Estuve allí, hice exactamente lo mismo.
Sólo una cosa, ¿no hay un $g_{\mu\nu}$ falta en la cuarta ecuación que escribiste en el primer término de la RHS?
Perdona, ¿podrías dar más detalles sobre cómo hiciste la segunda regla de Leibniz? Obtengo 4 términos cuando distribuyo las dos derivadas covariantes para este término: $\nabla^{\alpha} \nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu})$ considerando la compatibilidad métrica, saqué la métrica directamente y obtuve los otros 4 términos, ¿2 de ellos se cancelan entre sí?
$\nabla_{\alpha}$ actúa sobre la variación. Moví esta derivada delante de todos los términos y resté $g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\Box \phi$ (Regla de Leibniz).
Tienes que eliminar el término derivado total en la primera regla de Leibniz para continuar.
Sí, hice eso. Para su primera regla de Leibniz consideré el término $\nabla^{\alpha}( \phi g_{\mu\nu} \nabla_{\alpha} (\delta g^{\mu\nu}))$ y distribuyó el $\nabla^{\alpha}$ en los 3 términos y uno de ellos desapareció debido a la compatibilidad métrica y reorganizar esa ecuación me llevó a tu primera regla de Leibniz. Ignoré el término que tiene la derivada total. Intenté el mismo procedimiento usando $\nabla^{\alpha} \nabla_{\alpha} (g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu})$ pero hay términos adicionales
¿Alguien podría hacer una variación explícita con respecto a $\phi$ ?
¿Por qué no haces una pregunta sobre el tema para que alguien pueda ayudarte?

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