Variación de los símbolos de Christoffel con respecto a gμνgμνg^{\mu\nu}

Estoy tratando de encontrar las ecuaciones de campo para algún Lagrangiano en particular. En el medio me enfrenté al término

$$\frac{\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}}{\delta g^{\mu\nu}} \, .$$

Yo sé eso

$$\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} = \frac{1}{2}g^{\sigma\alpha}(\nabla_{\beta}(\delta g_{\sigma\gamma}) + \nabla_{\gamma}(\delta g_{\sigma\beta}) - \nabla_{\sigma}(\delta g_{\beta\gamma})) \, .$$

Tengo dos preguntas:

1. es la expresión para$\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}$de alguna manera relacionado con$\frac{\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}}{\delta g^{\mu\nu}}$?

2. La idea al final es tener términos como

   $$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g^{\alpha\beta}} = 0$$ y así hacer invariante la variación de la acción bajo$\delta g^{\alpha\beta}$. Entonces, en palabras simples, ¿hay alguna forma de tener el término$\delta g^{\alpha\beta}$poner de la variación del símbolo de Christoffel?