¿Se puede derivar la ecuación de Schrödinger del principio de Huygens?

La óptica difractiva en la aproximación de Fresnel (paraxial) es exactamente igual a la mecánica cuántica de una sola partícula cuando el espesor a lo largo del eje óptico se reemplaza por el tiempo, el índice de refracción se reemplaza por la masa y la frecuencia angular inversa de la luz monocromática se reemplaza por Constante de Planck. Aquí hay un breve boceto.

Mecanica clasica

La unidad de la óptica y la mecánica es más clara utilizando los generadores de transformaciones canónicas (ver la sección 2.1 de Field Theory de Pierre Ramond). El hamiltoniano para una partícula libre es$H=\frac{p^{2}}{2m}$. El generador de este hamiltoniano es,

$$\begin{eqnarray*} G(q,Q)&=&\frac{m(q-Q)^{2}}{2t}\\ p&=&\frac{\partial G(q,Q)}{\partial q}\\ -P&=&\frac{\partial G(q,Q)}{\partial Q} \end{eqnarray*}$$ Jugando con el generador podemos escribir la transformación canónica como una transformación matricial desde el estado inicial $(P,Q)$al estado final $(p,q)$. $$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \frac{t}{m} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} P \\ Q \end{array} \right] \ . \end{equation}$$ los $2\times 2$matriz es un elemento del grupo simpléctico Sp(2,R). En otras palabras, la mecánica clásica (para los hamiltonianos cuadráticos) es sinónimo de la representación definitoria bidimensional de Sp(2,R) realizada en el espacio de fase bidimensional $(p,q)$,

Mecánica cuántica

El impulso se convierte en un operador.$p\rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial q}$. Los estados se convierten en funciones de onda.$\langle Q|\psi\rangle$. La transformación canónica se convierte en un operador unitario,

$$\begin{equation} \langle q|U|Q\rangle \propto \exp\left(\frac{i G(q,Q)}{\hbar}\right)= \sqrt{\frac{m}{it}}\exp\left( \frac{im(q-Q)^{2}}{2t\hbar}\right) \end{equation}$$ la amplitud $\langle q|U|Q\rangle$es una matriz de dimensión infinita. Las filas están indexadas por $q$y las columnas por $Q$.Los estados inicial y final están relacionados por, $$\begin{equation} \langle q|U|\psi\rangle=\int\frac{dQ}{\sqrt{2\pi}} \langle q|U|Q\rangle\langle Q|\psi\rangle \end{equation}$$ La integral es una multiplicación de matrices de dimensión infinita. Derivando la ecuación anterior se recupera la ecuación de Schrödinger, $$\begin{equation} i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial q}\right)^{2}\psi \end{equation}$$ El operador $\langle q|\hat{U}|Q\rangle$es un elemento de una representación unitaria de dimensión infinita del grupo simpléctico Sp(2,R). En otras palabras, la mecánica cuántica (para los hamiltonianos cuadráticos) es sinónimo de las representaciones unitarias de dimensión infinita de Sp(2,R) realizadas en el espacio de las funciones de onda. $\psi(q)$.

Óptica de rayos

El principio de tiempo mínimo de Fermat en la óptica de rayos desempeña el papel del principio de acción mínima en la mecánica clásica.

Dejar$s$sea ​​la distancia a lo largo de un rayo. El tiempo para moverse por la distancia.$ds$es$dt=nds/c$dónde$c$es la velocidad de la luz en el vacío y$n$es el índice de refracción del material. El tiempo total en el camino es,

$$\begin{equation} S=\int dt=\int \frac{nds}{c}=\int \frac{n\sqrt{dq^{2}+dz^{2}}}{c} =\int\frac{ndz}{c}\sqrt{1+\dot{q}^{2}}\ . \end{equation}$$ dónde $\dot{q}=dq/dz$y el $z$La coordenada en la óptica de rayos juega el papel del tiempo en la mecánica clásica. El Lagrangiano en óptica de rayos es por lo tanto, $$\begin{equation} L=\frac{n}{c}\sqrt{1+\dot{q}^{2}} \ . \end{equation}$$ El momento canónicamente conjugado es, $$\begin{equation} p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} =\frac{n\dot{q}}{c\sqrt{1+\dot{q}^{2}}} =\frac{ndq}{c\sqrt{dq^{2}+dz^{2}}} =\frac{n}{c}\frac{dq}{ds}\ . \end{equation}$$ El hamiltoniano de la óptica de rayos es, $$\begin{equation} H=p\dot{q}-L=-\sqrt{\left(\frac{n}{c}\right)^{2}-p^{2}} \simeq\frac{p^{2}c}{2n}-\frac{n}{c} \end{equation}$$ y el último resultado es para un impulso pequeño. La óptica de rayos es lo mismo que la mecánica clásica con $\frac{n}{c}$en lugar de masa $m$. los $2\times 2$Las matrices de la representación definitoria de Sp(2,R) son las matrices de transferencia de rayos en la óptica de rayos.

Óptica difractiva

El impulso se convierte en un operador.$p \propto -i\frac{\partial}{\partial q}$. La constante de proporcionalidad no puede ser la constante de Planck$\hbar$porque las dimensiones están mal. En la óptica de rayos, el impulso tiene dimensiones de segundo/metro, por lo que la constante debe tener dimensiones de segundo. La cantidad física con dimensiones de segundo es la frecuencia inversa de la luz. un factor de$2\pi$aparece como en la constante de Planck$\hbar$y entonces la constante con dimensiones de segundo es, de hecho, la frecuencia angular inversa$\omega^{-1}$de la luz. El operador de momento es ahora,

$$\begin{equation} p= -i\omega^{-1}\frac{\partial}{\partial q} \end{equation}$$ y todo en la mecánica cuántica de una partícula pasa a la óptica difractiva reemplazando $\hbar\rightarrow \omega^{-1}$. Por ejemplo, la onda plana en la mecánica cuántica es, $$\begin{equation} \psi(q)=\exp\left(\frac{ipq}{\hbar}\right) \end{equation}$$ y entonces la onda plana en óptica difractiva es, $$\begin{equation} \psi(q)=\exp\left(\frac{ipq}{\omega^{-1}}\right) =\exp\left(\frac{in\omega}{c}\frac{dq}{ds}q\right) =\exp\left(\frac{i2\pi n\sin(\theta)q}{\lambda}\right) \end{equation}$$ utilizando la definición del momento de la óptica de rayos.

La mecánica cuántica no es tan extraña porque es la misma teoría que la óptica difractiva en la aproximación de Fresnel (paraxial o de pequeño momento). Aprendí esto por primera vez al leer el capítulo introductorio de "Técnicas simplécticas en física" de Victor Guillemin y Shlomo Sternberg.

Principio de Huygen y Mecánica Cuántica

la amplitud$\langle q|U|Q\rangle$para una partícula libre dada en el RHS de la primera ecuación de la sección sobre mecánica cuántica es una onda cilíndrica centrada en la coordenada$Q$. La integral en la segunda ecuación es entonces una suma sobre ondas cilíndricas y este es el Principio de Huygen. Entonces, la ecuación de Schrodinger se puede derivar del principio de Huygen.

Incluso matemáticamente, la ecuación de Schrödinger no se puede derivar del principio de acción mínima porque solo depende de las primeras derivadas del tiempo,$\psi' = \partial \psi / \partial t$. Esto prueba que$\psi'$tendría que aparecer en la acción, pero luego$\psi''$también aparecería inevitablemente en las ecuaciones de Euler-Lagrange, a menos que la acción tuviera solo algunos términos de la forma$\psi' \psi$. Pero$\psi'\psi = (\psi^2)'/2$es una derivada total, por lo que no contribuye a las ecuaciones de movimiento. (La conjugación compleja hace que la derivación correcta sea más complicada, pero la conclusión es finalmente la misma porque la acción debe hacerse real, etc.)

(La ecuación de Dirac o cualquier ecuación para fermiones es una escapatoria; puede ser de primer orden y derivada de la acción mínima. Esto se debe a que los signos fermiónicos adicionales y/o los signos de las matrices de Dirac le impiden escribir$\psi'\psi = (\psi^2)'/2$– el Lagrangiano de Dirac no es una derivada total.)

De modo que la ecuación de la función de onda en la mecánica cuántica no resulta de la menor acción. En cambio, se puede decir que las ecuaciones de Heisenberg para los operadores en la mecánica cuántica (en la imagen de Heisenberg que puede demostrarse que es físicamente equivalente a la imagen de Schrödinger) son básicamente las mismas ecuaciones que las ecuaciones clásicas, y se pueden derivar de la mínima acción.

¿Se puede usar la mínima acción directamente en la mecánica cuántica, sin la referencia a las ecuaciones clásicas? Bueno, con una modificación. La forma correcta de usar la acción.$S$en mecánica cuántica se denomina integral de trayectoria de Feynman. El sistema mecánico cuántico en realidad "prueba" todas las trayectorias e historias posibles en el mismo momento y$\exp(iS/\hbar)$es el integrando que contribuye a la amplitud de probabilidad de alguna evolución.

Esta exponencial compleja es básicamente una "fase aleatoria que oscila rápidamente" y casi todas se cancelan en el límite donde$\hbar$es pequeño relativamente a los parámetros del problema. Son principalmente las trayectorias cercanas$\delta S = 0$, una acción extremizada, que son excepciones. Porque$S$es bastante estable allí, las amplitudes interfieren constructivamente. Esa es una explicación de por qué cerca del límite clásico, las trayectorias clásicas dominan la evolución en el enfoque de la mecánica cuántica de Feynman.

El principio de Huygen es que una amplitud de onda$A(t_0)$, generalmente una onda plana, se modifica en una onda esférica con una amplitud

$$A(t,r) = \frac{A(t_0)e^{ikr + i\delta}e^{-i\omega t}}{r}.$$ La distancia radial en $t_0$es $r \simeq \lambda$y la fase $\delta$se establece para que $k\lambda = \delta$, que se establece en $2\pi$. Ahora considere una expansión de Taylor de este frente de onda con respecto a $r$, y $$\begin{align} A(t,r) &= A(t_0) + \frac{\partial A(t,r)}{\partial r}\Big|_{r = \lambda}r + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 A(t,r)}{\partial^2 r}\Big|_{r = \lambda}x^2 + \dots\\ & = A(t_0) + \frac{e^{ikr}(ikr - 1)}{r^2}\big|_{r = \lambda}\delta r - \frac{1}{2}\frac{e^{ikr}(k^2r^2 + 2ikr – 2)}{r^3}|_{r=\lambda}\delta r^2\end{align}$$

Establecimos$r = \lambda$y encontramos algunas restas para que

$$A(t, r) \simeq A(t_0) - \frac{k^2}{\lambda}e^{ikr}\delta r^2$$ Para tratar la dependencia del tiempo explícitamente usamos $A(t,r) = e^{-i\omega t}A(r)$y la expansión en el lado izquierdo es entonces la justificación $$A(t, r) = A(r)\Big|_{t = t_0} + i\frac{\partial A(t,r)}{\partial t}|_{t = t_0}\delta t + \dots,$$ donde el $i\frac{\partial}{\partial t}$se utiliza para obtener un término de valor real lineal en $\delta t$. Ahora establecemos todas las variaciones de acuerdo con la longitud de onda en el conjunto $k = p/\hbar$de modo que $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{ikr - i\omega t} = \frac{1}{2}p^2e^{ikr – i\omega t}$$ Esto está bastante cerca de ser una ecuación de Schroedinger para una partícula libre.

Esto está cerca, pero me falta un término masivo. yo debería$1/2m$en vez de$1/2$, que es una manifestación de derivar esto de un resultado que involucra ondas EM que no tienen masa. Esta es una pregunta interesante y me hizo hacer algunos cálculos rápidos.