Ecuación de onda de primer orden: ¿Por qué no es común su presencia?

Matemáticamente, no hay nada malo con la ecuación de onda de primer orden, pero es un poco aburrida. Si quieres usar esta ecuación para describir ondas, básicamente equivale a tener un sólido 1d con la velocidad del sonido.$v$para las ondas que se mueven a la izquierda (por ejemplo) y la velocidad del sonido$0$para ondas en movimiento hacia la derecha. No me sorprendería si se pudiera construir tal cosa (habría que introducir algunos campos externos para romper la invariancia de inversión de tiempo), pero es un sistema muy especial en el que no estamos interesados ​​genéricamente.

Tomemos las transformadas de Fourier de ambas ecuaciones para obtener las relaciones de dispersión. La ecuación normal de segundo orden da

$$\begin{equation} \omega^2=v^2 k^2 \end{equation}$$ Entonces para cada frecuencia $\omega$hay dos valores permitidos de $k$, correspondiente a las ondas en movimiento derecha e izquierda. Tenga en cuenta que si generalizamos la ecuación de segundo orden para incluir más direcciones espaciales, habría un número infinito de direcciones permitidas. $k$valores.

Mientras tanto, la ecuación de primer orden siempre tiene una solución permitida para una frecuencia dada

$$\begin{equation} \omega=v k \end{equation}$$ Entonces obtenemos ondas que se mueven hacia la derecha o hacia la izquierda, pero no ambas. Esto restringe el comportamiento permitido, por ejemplo, no puede tener ondas estacionarias. Si trato de generalizar a dimensiones más altas, esta ecuación selecciona un solo permitido $k$para cada frecuencia, por lo que las ondas solo se propagarán en una dirección muy especial.

Físicamente, esto no es lo que normalmente llamaríamos una onda porque solo necesito una condición inicial, no dos. Por lo general, los sistemas dinámicos solo pueden evolucionar dada su posición y velocidad iniciales, pero la ecuación de primer orden solo necesita la posición inicial. (O si lo desea, su ecuación no es un sistema hamiltoniano porque el espacio de fase tiene dimensiones impares).

Por último, pero no menos importante, la ecuación de primer orden selecciona necesariamente un marco preferido. Haciendo un impulso puedo cambiar el signo de$v$, Por lo tanto, la ecuación no es un buen punto de partida para tratar con ondas relativistas, que es una de las principales aplicaciones de la ecuación de onda. (Por supuesto, puede tener ondas en materiales que elijan un marco preferido, y eso está bien, pero allí se encuentra con los problemas anteriores de que también está mirando algo con una dirección de movimiento preferida).

(La ecuación de Dirac soluciona esto usando repeticiones de spinor del grupo de Lorentz, pero a partir de su pregunta, supongo$f$es un escalar).

Editar: releyendo tu pregunta, veo que quieres tener el$\pm$. Entonces no estás mirando soluciones de una sola ecuación, estás mirando soluciones a dos ecuaciones y diciendo que ambas están permitidas. Esto es un poco feo por varias razones. Primero, filosóficamente debería haber una sola ecuación para cualquier sistema. En segundo lugar, las superposiciones no resuelven ninguna ecuación de primer orden por separado, pero sí resuelven la ecuación de segundo orden. En tercer lugar, la analogía de su idea para dimensiones más espaciales es tener un conjunto infinito de ecuaciones de primer orden, una para cada dirección.

Por otro lado, hay una manera de reescribir la ecuación de segundo orden como dos ecuaciones de primer orden de una manera que se generaliza a cualquier dimensión, esta es la forma del hamiltoniano y es algo muy útil en muchas situaciones.

Hay algunas razones por las que puedo pensar:

(1) El sistema de segundo orden es que es reversible en el tiempo. Si tu dejas$t\to-t$, usted obtiene

$$\frac{\partial^2f}{\partial(-t)^2}=\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$$ mientras que el sistema de primer orden tiene $$\frac{\partial f}{\partial(-t)}=-\frac{\partial f}{\partial t}=\pm v\frac{\partial f}{\partial x}$$ que ahora es una ecuación diferente debido al signo menos.

(2) Superposición. Si$f(x+vt)$y$f(x-vt)$son ambas soluciones, entonces$F(x,t)=af(x+vt)+bf(x-vt)$también es una solución. Insertando esto en la ecuación de segundo orden,

$$\frac{\partial^2F}{\partial t^2}=av^2f(x+vt)+bv^2f(x-vt)\\ v^2\frac{\partial^2F}{\partial x^2}=v^2\left(af(x+vt)+bf(x-vt)\right)$$ y la ecuación de primer orden $$\frac{\partial F}{\partial t}=avf(x+vt)-bvf(x-vt) \\ \pm v\frac{\partial F}{\partial x}=\pm v\left(af(x+vt)+bf(x-vt)\right)$$ que son resultados diferentes (es decir, la superposición no se mantiene aquí excepto quizás para casos particulares).

Sin embargo, en términos de resolver tales ecuaciones numéricamente, es mucho más fácil usar la ecuación de primer orden porque se requiere menos memoria. Las dos ecuaciones se pueden aproximar a través de las diferencias finitas

$$\frac{f(x,t+dt)+f(x,t-dt)-2f(x,t)}{\Delta t^2}=v^2\frac{f(x+dx,t)+f(x-dx,t)-2f(x,t)}{\Delta x^2}$$ $$\frac{f(x,t+dt)-f(x,t)}{\Delta t}=\pm v\frac{f(x+dx,t)-f(x-dx,t)}{2\Delta x}$$ La primera ecuación (segundo orden) requiere almacenar los pasos de tiempo anteriores, actuales y futuros, mientras que la segunda ecuación (primer orden) requiere solo los pasos de tiempo anteriores.

Una aplicación muy útil de la ecuación de onda de primer orden es describir la propagación de la envolvente de variación lenta de una onda casi sinusoidal.

Supongamos que tenemos una onda que satisface la ecuación de onda de segundo orden que se sabe que es casi sinusoidal, con una envolvente$a$que varía lentamente tanto en el espacio (con una pequeña variación en una longitud de onda) como en el tiempo (con una pequeña variación en un período de oscilación). En el caso de las ondas de luz, por ejemplo, esto se aplica en muchas situaciones, incluso para campos de luz que se consideran "pulsados" o que varían con el tiempo. En notación compleja, podemos escribir la onda de propagación positiva o negativa como

$$f=ae^{i(\pm kx-\omega t)},$$ con $k$positivo.

Sustituyendo en la ecuación de onda de segundo orden y tomando$k=\omega/v$, tenemos

$$\pm\frac{2i\omega}{v}\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial^2a}{\partial x^2}=-\frac{2i\omega}{v^2}\frac{\partial a}{\partial t}+\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2a}{\partial t^2}.$$ Bajo la aproximación de envolvente de variación lenta (SVEA), despreciamos las derivadas de segundo orden con respecto a las de primer orden, y nos quedamos con $$\frac{\partial a}{\partial x}=\mp\frac{1}{v}\frac{\partial a}{\partial t},$$ es decir, la ecuación de onda de primer orden.

Esto simplifica enormemente los cálculos numéricos, especialmente porque la oscilación de frecuencia relativamente alta y número de onda alto en$\omega$y$k$ha sido eliminado de la consideración explícita.

Las ecuaciones de onda de primer orden son comunes, solo que la ecuación de onda de primer orden sobre los números reales es muy aburrida. La ecuación de Schrödinger, las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Dirac son todas de primer orden en el tiempo.

El siguiente ejemplo más simple es$\frac{\partial f}{\partial t} = i \frac{\partial f}{\partial x}$. Tomando la derivada del tiempo en ambos lados y reescribiendo usando la ecuación original,$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = i \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial x} = i^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} = - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x}$. Entonces, la ecuación de onda de primer orden con coeficiente complejo es equivalente a la ecuación de onda de segundo orden$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = - \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$. La ecuación de segundo orden necesita 2 condiciones iniciales ($f(0,x)$y$\frac{\partial f}{\partial t}(0,x))$, y la ecuación compleja de primer orden también necesita 2 condiciones iniciales (parte real e imaginaria).

Las ecuaciones de Maxwell son directamente análogas a esta pero con múltiples dimensiones espaciales, y la ecuación de Dirac también está estrechamente relacionada.