¿Cómo podemos justificar ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)\psi(\textbf{r})\to\psi_{in}(\ textbf{r})+\psi_{sc}(\textbf{r}) en |r|→∞|r|→∞|\textbf{r}|\to \infty pero no en finito |r||r| |\textbf{r}|?

En la teoría de la dispersión cuántica, la onda saliente en | r | → ∞ , disperso de un potencial localizado, se puede escribir como

ψ ( r ) → ψ i norte ( r ) + ψ s C ( r )
dónde ψ i norte es la onda incidente y ψ s C = mi i k r r es la onda dispersa. Entiendo que escribir una expresión para ψ ( r ) requiere que uno resuelva la ecuación de Schrödinger con el potencial V ( r ) que es un trabajo formidable.

Pero, ¿cómo puedo justificar el límite? ψ ( r ) → ψ i norte ( r ) + ψ s C ( r ) en | r | → ∞ pero no en finito | r | ?

¿Quizás podría decir algo sobre las condiciones de contorno?

Respuestas (1)

Es por la definición de "dispersión". "Dispersión" se define como que la función de onda de la partícula dispersa se escapa al infinito. Pero si el potencial es muy complicado, podría tener una situación en la que, digamos, la partícula inicialmente "rebota" y comienza a viajar hacia afuera, pero luego "retrocede" y comienza a moverse hacia adentro nuevamente. Tal proceso es perfectamente posible, pero no se consideraría un proceso de "dispersión" porque la partícula en realidad no puede escapar al infinito, por lo que en realidad describe un estado ligado . El requisito de que la partícula se mueva radialmente hacia afuera en el infinito está ahí para descartar estados débilmente ligados como el descrito anteriormente,

¿Qué pasa si el potencial es repulsivo? Entonces no hay problema de estado ligado. ¿Bien? ¿Podemos afirmar entonces que ψ ( r ) → ψ i norte ( r ) + ψ s C ( r ) se cumple para todos los valores de | r | ? @tparker
@SRS No. El punto es que ψ en ( r ) y ψ Carolina del Sur ( r ) son ambas soluciones a la ecuación de Schrödinger sin potencial (y por lo tanto, por linealidad, su suma también lo es). Se supone que el potencial cae a cero lejos del origen, por lo que en esas regiones esta función de onda se aproxima bien a esas dos funciones de onda. Pero cerca del origen, el potencial será importante y modificará la función de onda de una manera no trivial y dependiente del potencial.
@SRS Considere la situación más simple de dispersión en una dimensión, por ejemplo, calcular los coeficientes de reflexión y transmisión. Podemos imaginar un potencial complicado cerca X = 0 , pero para un problema de dispersión generalmente asumimos que está localizado y se desvanece lejos del origen. Entonces las ondas entrantes, reflejadas y transmitidas tienen la forma simple mi ± i k X , pero cerca del origen el potencial distorsiona la función de onda y la hace mucho más complicada. Un problema de dispersión 3D es muy similar al cálculo del coeficiente de reflexión R , pero más complicado porque...
... puede depender de la dirección angular.
¿Cómo podemos justificar ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)\psi(\textbf{r})\to\psi_{in}(\ textbf{r})+\psi_{sc}(\textbf{r}) en |r|→∞|r|→∞|\textbf{r}|\to \infty pero no en finito |r||r| |\textbf{r}|?
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