Ecuación de Hamilton-Jacobi

I) Por lo menos tres cantidades diferentes en física se llaman acción y se denotan con la letra$S$.

1. La acción (fuera de la cáscara)

   $$S[q]~:=~ \int_{t_i}^{t_f}\! dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t) \tag{1}$$ es un funcional de la curva/ruta de posición completa$q^i:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$para todos los tiempos$t$en el intervalo$[t_i,t_f]$. Véase también esta pregunta. (Aquí las palabras on-shell y off-shell se refieren a si las ecuaciones de movimiento (eom) se cumplen o no).

2. Si el problema variacional $(1)$con condiciones de contorno bien planteadas, por ejemplo, condiciones de contorno de Dirichlet

   $$q(t_i)~=~q_i\quad\text{and}\quad q(t_f)~=~q_i,\tag{2}$$ tiene un único camino extremo/clásico$q_{\rm cl}^i:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$, tiene sentido definir una acción en el shell $$S(q_f;t_f;q_i,t_i) ~:=~ S[q_{\rm cl}], \tag{3}$$ que es una función de los valores límite. Véase, por ejemplo , MTW Sección 21.1.

3. La función principal de Hamilton$S(q,\alpha, t)$en la ecuación de Hamilton-Jacobi es una función de las coordenadas de posición$q^i$, constantes de integración$\alpha_i$, y tiempo$t$, véase, por ejemplo, H. Goldstein, Classical Mechanics, capítulo 10. La derivada del tiempo total

   $$\frac{dS}{dt}~=~ \dot{q}^i \frac{\partial S}{\partial q^i}+ \frac{\partial S}{\partial t}\tag{4}$$ es igual al lagrangiano$L$on-shell, como se explica aquí . En consecuencia, la función principal de Hamilton$S(q,\alpha, t)$puede interpretarse como una acción en el shell.

II) Ejemplo: Una partícula libre no relativista en 1 dimensión.

1. La acción fuera de la cáscara es

   $$S[q]~=~ \frac{m}{2}\int_{t_i}^{t_f}\! dt \ \dot{q}(t)^2.\tag{5}$$

2. Si asumimos las condiciones de contorno de Dirichlet (2), la trayectoria clásica única$q_{\rm cl}$tiene velocidad constante

   $$\dot{q}_{\rm cl}~=~\frac{q_f-q_i}{t_f-t_i}.\tag{6}$$ La acción de Dirichlet on-shell (3) es $$S(q_f,t_f;q_i,t_i) ~=~ \frac{m}{2} \cdot \frac{(q_f-q_i)^2}{t_f-t_i}. \tag{7}$$

3. La función principal de Hamilton, es decir, una solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi, es

   $$S(q,E,t)~=~\pm\sqrt{2m E} q - Et,\tag{8}$$ dónde$E$es una constante de integración (= la energía total). Debido a la interpretación de la función principal de Hamilton como un generador de tipo 2 de transformaciones canónicas , la derivada parcial $$Q~:=~ \frac{\partial S}{ \partial E}~\stackrel{(8)}{=}~\pm\sqrt{\frac{m}{2E}}q -t \tag{9}$$ debe ser una constante de movimiento. En otras palabras, la posición$q(t)$es, como era de esperar, una función afín del tiempo$t$. Esto implica que la velocidad es constante. $$\dot{q} ~\approx~\pm\sqrt{\frac{2E}{m}}, \tag{10}$$ donde el "$\approx$" El símbolo significa igualdad módulo eom. La derivada temporal total de la función principal de Hamilton (8) es igual al Lagrangiano (= la energía cinética) en la capa $$\frac{dS}{dt}~\stackrel{(8)}{=}~ \pm\sqrt{2m E} \dot{q} -E ~\stackrel{(10)}{\approx}~E.\tag{11}$$

4. Comparemos ahora los puntos 2 y 3. Con las condiciones de contorno de Dirichlet (2), la energía se convierte en

   $$E~=~ \frac{m}{2} \cdot \left(\frac{q_f-q_i}{t_f-t_i}\right)^2. \tag{12}$$ Una comparación de las ecs. (6) y (10) muestra que debemos usar la rama más (menos) de la solución (8) si$q_f\geq q_i$($q_f\leq q_i$), respectivamente. Es sencillo verificar que la diferencia en la función principal de Hamilton se convierte en la acción en el caparazón (7), $$\begin{align} S(q_f,E,t_f)~-~& S(q_i,E,t_i)\cr ~\stackrel{(8)+(12)}{=}&~\frac{m}{2} \cdot \frac{(q_f-q_i)^2}{t_f-t_i}\cr ~\stackrel{(7)}{=}~~& S(q_f,t_f;q_i,t_i).\end{align}\tag{13}$$

El funcional de acción y la función principal de Hamilton son dos objetos matemáticos diferentes relacionados con la misma cantidad física.

La acción a lo largo de una trayectoria.$\gamma:[t_1,t_2]\rightarrow Q$es dado por

$$S[\gamma] = \int_{t_1}^{t_2}L(\gamma(t'),\dot\gamma(t'),t')dt'$$ mientras que la función principal es la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi $$H(q,\nabla S(q,t),t) + \frac{\partial S}{\partial t}(q,t) = 0$$

Si se denota por$\gamma_{q,t}$la solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange con

$$\gamma_{q,t}(t_0)=q_0\\ \gamma_{q,t}(t)=q$$ después $$S(q,t):=S[\gamma_{q,t}]=\int_{t_0}^{t}L(\gamma_{q,t}(t'),\dot\gamma_{q,t}(t'),t')dt'$$ resolverá la ecuación de Hamilton-Jacobi.

Por otro lado, para la función principal tenemos la siguiente

$$\frac{d}{dt}S(\gamma(t),t)=L(\gamma(t),\dot\gamma(t),t)$$ y por lo tanto $$S[\gamma]=S(\gamma(t_2),t_2)-S(\gamma(t_1),t_1)$$

Tenga en cuenta que las dos últimas ecuaciones solo se cumplen para trayectorias con

$$\frac{\partial L}{\partial\dot q}(\gamma(t),\dot\gamma(t),t) = \nabla S(\gamma(t),t)$$

Geométricamente, la elección de las constantes de integración de la función principal selecciona una hoja de una foliación del espacio de fase, que corresponde a la elección de la condición inicial$\gamma_q(t_0)=q_0$desde arriba.

Creo que las otras dos respuestas son exageradas. La respuesta más simple es que el tiempo$t$no es una variable ficticia. la integración de$L$con el tiempo aquí hay una integración indefinida, así que si tenemos$L(q,\dot{q},t)$, y queremos integrarlo con el tiempo$t$, el resultado es

$$\int_{t_i}^tL(q,\dot{q},\tau)d\tau$$ aquí$\tau$es la variable ficticia pero$t$no lo es, y el resultado es una función de$t$.