Ecuación de Hamilton-Jacobi con un Lagrangiano de segundo orden

Question

Ecuación de Hamilton-Jacobi con un Lagrangiano de segundo orden

acción
Física
espacio de fase
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

Milú

H (q, \frac{\partial S}{\partial q}, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0,

$\begin{equation} H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}~=~0, \end{equation}$ dónde

S

$S$ es la función principal de Hamilton .

Si tomamos un segundo orden $L$ tal que

L = L ({q_{j}, {\dot{q}}_{j}, {\ddot{q}}_{j}}, t),

$L=L(\{q_j,\dot{q}_j,\ddot{q}_j\},t),$ cambia la ecuación de Hamilton-Jacobi, o siempre podríamos considerar que

\frac{\partial S}{\partial t} = - H

$\displaystyle\frac{\partial S}{\partial t}=-H$ ?

una mente curiosa

¿Qué definición de "Hamiltoniano" estás usando para Lagrangianos de orden superior? Hay varios (por ejemplo, el de Ostrogradsky) que son similares, pero no iguales.

Milú

umm si es cierto considerar que ∂S/∂t=−H, definiría mi hamiltoniano de \delta S (que es igual a L \delta t), entonces H será =∑jp\dot{q}+∑ j ∂S/∂\dot{q} \ddot{q}−L (todos tendrán índice j)

Milú

@ACuriousMind, ¿puedo escribir esto? Nunca he trabajado con una L de orden superior.

una mente curiosa

El punto es: ¿qué espacio es ese nuevo

H

$H$ ¿viviendo en? En la configuración de primer orden, cambiamos del paquete de tangente de Lagrange con coordenadas

(q, \dot{q})

$(q,\dot{q})$ al hamiltoniano fase espacio/paquete cotangente con coordenadas

(q, p)

$(q,p)$ . Pero aquí no puedes simplemente transformar Legendre

\dot{q}

$\dot{q}$ , necesitas manejar de alguna manera el

\ddot{q}

$\ddot{q}$ dependencia. Hay diferentes esquemas para eso, lo que lleva a diferentes nociones del hamiltoniano final, por lo que no está exactamente claro lo que quiere hacer aquí.

Milú

Lo que he escrito en mi comentario es absolutamente incorrecto :) ¡Lo siento! Así que he decidido usar el hamiltoniano de Ostogradsky. Pero todavía no sé si la ecuación de Hamilton-jacobi sigue siendo cierta de todos modos.

Respuestas (1)

Ecuación de Hamilton-Jacobi con un Lagrangiano de segundo orden

¿Qué definición de "Hamiltoniano" estás usando para Lagrangianos de orden superior? Hay varios (por ejemplo, el de Ostrogradsky) que son similares, pero no iguales.
umm si es cierto considerar que ∂S/∂t=−H, definiría mi hamiltoniano de \delta S (que es igual a L \delta t), entonces H será =∑jp\dot{q}+∑ j ∂S/∂\dot{q} \ddot{q}−L (todos tendrán índice j)
@ACuriousMind, ¿puedo escribir esto? Nunca he trabajado con una L de orden superior.
El punto es: ¿qué espacio es ese nuevo $H$ ¿viviendo en? En la configuración de primer orden, cambiamos del paquete de tangente de Lagrange con coordenadas $(q,\dot{q})$ al hamiltoniano fase espacio/paquete cotangente con coordenadas $(q,p)$ . Pero aquí no puedes simplemente transformar Legendre $\dot{q}$ , necesitas manejar de alguna manera el $\ddot{q}$ dependencia. Hay diferentes esquemas para eso, lo que lleva a diferentes nociones del hamiltoniano final, por lo que no está exactamente claro lo que quiere hacer aquí.
Lo que he escrito en mi comentario es absolutamente incorrecto :) ¡Lo siento! Así que he decidido usar el hamiltoniano de Ostogradsky. Pero todavía no sé si la ecuación de Hamilton-jacobi sigue siendo cierta de todos modos.

qmecanico · Answer 1

I) Suprimamos la dependencia temporal explícita $t$ de la notación siguiente. Sea dado un Lagrangiano de segundo orden

\begin{matrix} (1) & L (q, v, a); \end{matrix}

$L(q,v,a); \tag{1}$

dónde $q^i$ son posiciones, $v^i$ son velocidades, $a^i$ son aceleraciones, y donde $i\in\{1,\ldots,n\}$ .

II) Nos gustaría encontrar la formulación hamiltoniana de Ostrogradsky correspondiente . Supongamos, por simplicidad, que la arpillera

\begin{matrix} (2) & H_{i j} = \frac{\partial^{2} L}{\partial a^{i} \partial a^{j}} \end{matrix}

$H_{ij}~=~\frac{\partial^2L}{\partial a^i\partial a^j} \tag{2}$

es invertible $^1$ Entonces el hamiltoniano de Ostrogradsky se define como

\begin{matrix} (3) & H (q, PAG) := {pag}_{i} v^{i} + \underset{a}{sorber} (π_{i} a^{i} - L (q, v, a)), \end{matrix}

$H(Q,P)~:=~ p_iv^i + \sup_a\left(\pi_i a^i-L(q,v,a)\right) ,\tag{3}$

donde hemos introducido la notación colectiva

\begin{matrix} (4) & q^{I} = {q^{i}; v^{i}}, {PAG}_{I} = {{pag}_{i}; π_{i}}, I \in {1, \dots, 2 norte} . \end{matrix}

$Q^I~=~\{q^i;v^i\},\qquad P_I~=~\{p_i;\pi_i\},\qquad I~\in~\{1,\ldots,2n\}.\tag{4}$

III) En el espíritu de mi respuesta Phys.SE aquí , presentamos un Lagrangiano extendido $^2$

\begin{matrix} (5) & L_{mi} (q, \dot{q}, PAG, a) := {pag}_{i} ({\dot{q}}^{i} - v^{i}) + π_{i} ({\dot{v}}^{i} - a^{i}) + L (q, v, a) \end{matrix}

$L_E(Q,\dot{Q},P,a)~:=~p_i(\dot{q}^i-v^i)+\pi_i(\dot{v}^i-a^i)+L(q,v,a)\tag{5}$

Si nos integramos $P_I$ , $v^i$ y $a^i$ en el Lagrangiano extendido (5), recuperamos el Lagrangiano mismo

\begin{matrix} (6) & L (q, \dot{q}, \ddot{q}) . \end{matrix}

$L(q,\dot{q},\ddot{q})\tag{6} .$

Si solo nos integramos $a^i$ en el Lagrangiano extendido (5), obtenemos el Lagrangiano Hamiltoniano de Ostrogradsky

\begin{matrix} (7) & L_{H} (q, \dot{q}, PAG) := {PAG}_{I} {\dot{q}}^{I} - H (q, PAG) . \end{matrix}

$L_H(Q,\dot{Q},P)~:=~P_I\dot{Q}^I - H(Q,P).\tag{7}$

Esto implica que las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) de orden superior de (5) son equivalentes a las ecuaciones estándar de Hamilton en $Q^I$ y $P_I$ ! En otras palabras, en el caso no singular (2), ¡podemos reutilizar la teoría estándar de Hamilton-Jacobi (HJ) para este caso! La única diferencia es que el espacio de fase (4) es el doble de grande.

--

$^1$ Si la matriz hessiana es singular, aparecerán restricciones y, como resultado, la formulación hamiltoniana y la teoría de Hamilton-Jacobi se modificarán.

$^2$ Si variamos el Lagrangiano extendido (5) wrt. a $a^i$ y $v^i$ , obtenemos los momentos de Ostrogradsky

\begin{matrix} (8) & π_{i} \approx \frac{\partial L}{\partial a^{i}}, \end{matrix}

$\pi_i~\approx~\frac{\partial L}{\partial a^i} ,\tag{8}$ y

\begin{matrix} (9) & {pag}_{i} \approx \frac{\partial L}{\partial v^{i}} - {\dot{π}}_{i} \approx \frac{\partial L}{\partial v^{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial a^{i}}, \end{matrix}

$p_i ~\approx~\frac{\partial L}{\partial v^i}- \dot{\pi}_i~\approx~\frac{\partial L}{\partial v^i}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial a^i} ,\tag{9}$ respectivamente. [El

\approx

$\approx$ signo significa ecuaciones de movimiento de módulo de igualdad.]

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qmecanico

Ecuación de Hamilton-Jacobi

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