Independencia de posición e impulso en acción.

Question

Independencia de posición e impulso en acción.

acción
Física
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano
principio variacional

Dris

¿Por qué la posición y el momento son independientes con respecto a la acción hamiltoniana? $S_H$ dada por

\begin{matrix} (1) & S_{H} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (pag \dot{q} - H) d t ? \end{matrix}

$S_H = \int_{t_1}^{t_2} (p \dot q - H) dt \ \ \ ? \tag{1}$

Al derivar las ecuaciones de Hamilton de esta acción variando la trayectoria, asumimos que la variación en las posiciones $\delta q$ es independiente de la variación del momento $\delta p$ y por lo tanto, obtenemos 2 $n$ ecuaciones Sin embargo, en la Acción Lagrangiana

\begin{matrix} (2) & S_{L} = \int_{t 1}^{t_{2}} L d t \end{matrix}

$S_L = \int_{t1}^{t_2} L dt \tag{2}$ mostramos que las variaciones en posición y velocidad están relacionadas por

\begin{matrix} (3) & d \dot{q} = \frac{d}{d t} d q \end{matrix}

$\delta \dot q = \frac{d}{dt} \delta q \tag{3}$ ¿Cómo pueden la posición y el momento ser independientes pero no la posición y la velocidad en el mismo sistema? ¿No son la velocidad y el impulso intrínsecamente lo mismo?

(La acción hamiltoniana se mencionó en la respuesta de Qmechanics a una pregunta similar, pero no pude demostrar que la posición y el impulso son independientes para la acción hamiltoniana. Cualquier ayuda que demuestre esto sería muy apreciada).

charlie

q

$q$ y

\dot{q}

$\dot q$ así como

p

$p$ y

q

$q$ son simplemente múltiples coordenadas, por lo que son variables independientes a priori. Esta pregunta se ha hecho muchas veces en el sitio.

qmecanico

Hola Drishti Gupta. Bienvenido a Phys.SE. Hipotéticamente, ¿cómo planea usar la fórmula (1) si la posición y el momento no son independientes? [Por otro lado, si asumimos que la posición y el momento son independientes en la fórmula (1), entonces podemos derivar fácilmente las ecuaciones de Hamilton mediante un razonamiento estándar.]

Dris

Hola @Qmecánico. Idealmente, creo que escribiría

p

$p$ como una función de

q

$q$ y

\dot{q}

$\dot q$ (usando

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ ) y luego efectuar una variación

δ p

$\delta p$ variando

q

$q$ en la función. usaría esto

δ p

$\delta p$ En 1). Pero todos los textos estándar indican que esto no es lo correcto, aunque no entiendo por qué.

qmecanico

En (1) estamos en la formulación hamiltoniana, por lo que no se puede usar fácilmente una fórmula lagrangiana

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ .

Respuestas (1)

Independencia de posición e impulso en acción.

$q$ y $\dot q$ así como $p$ y $q$ son simplemente múltiples coordenadas, por lo que son variables independientes a priori. Esta pregunta se ha hecho muchas veces en el sitio.
Hola Drishti Gupta. Bienvenido a Phys.SE. Hipotéticamente, ¿cómo planea usar la fórmula (1) si la posición y el momento no son independientes? [Por otro lado, si asumimos que la posición y el momento son independientes en la fórmula (1), entonces podemos derivar fácilmente las ecuaciones de Hamilton mediante un razonamiento estándar.]
Hola @Qmecánico. Idealmente, creo que escribiría $p$ como una función de $q$ y $\dot q$ (usando $p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ ) y luego efectuar una variación $\delta p$ variando $q$ en la función. usaría esto $\delta p$ En 1). Pero todos los textos estándar indican que esto no es lo correcto, aunque no entiendo por qué.
En (1) estamos en la formulación hamiltoniana, por lo que no se puede usar fácilmente una fórmula lagrangiana $p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ .

SolublePeces · Answer 1

La mecánica lagrangiana tiene lugar en el espacio de configuración con coordenadas $q$ . El lagrangiano es una función de $q$ y $\dot q$ , siendo este último la derivada temporal del primero.
La mecánica hamiltoniana tiene lugar en el espacio de fase , con coordenadas $(q,p)$ . La relación entre los dos es una de las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Al derivar estas ecuaciones de movimiento a partir de un principio de acción, no tiene más remedio que considerarlas variables independientes. Por ejemplo, con lo habitual $H(p,q) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$ , una de las ecuaciones de Hamilton es:
$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial pag} = \frac{pag}{metro}$ $\dot q = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$
Hay una conexión entre los dos formalismos (cuando el término cinético es lo suficientemente bueno):
- de un lagrangiano $L(q,\dot q)$ , tomando la transformada de Legendre con respecto a $\dot q$ da un hamiltoniano $H(q,p)$ tal que, tomadas juntas, ambas ecuaciones de Hamilton son equivalentes a la ecuación de Euler-Lagrange. Esto significa que desde el espacio de configuración con coordenada $q$ y función lagrangiana $L(q,\dot q)$ , podemos construir un espacio de fase con coordenadas $(q,p)$ y una función hamiltoniana sobre ella $H(q,p)$ tal que la dinámica de $q$ bajo las ecuaciones de movimiento de Hamilton es idéntica a la de Euler-Lagrange.
- Lo contrario es un poco más sutil: desde un espacio de fase $(q,p)$ y un hamiltoniano $H(q,p)$ , tomamos la transformada de Legendre y definimos una función $L(q,v) = vp - H(q,p)$ . La nueva variable introducida por la transformada de Legendre está fijada por $v = \partial H/ \partial p$ entonces por la ecuación de Hamilton vemos que $v= \dot q$ . Por lo tanto, podemos optar por considerar solo el espacio de configuración $(q)$ y que la dinámica se rija por las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Ah, entonces la Formulación hamiltoniana no asume ninguna relación entre las velocidades y el momento y, de hecho, la encuentra. Entonces, dado que en realidad no estamos usando la definición de impulso que definimos en el Lagrangiano, ¿significa esto que $H = p\dot q - L$ ¿Es solo un método para descubrir la forma del hamiltoniano y las definiciones hamiltonianas en realidad no tienen nada que ver con las definiciones lagrangianas?
Existe una relación entre los dos (edité algunas explicaciones en mi respuesta).
Parece un poco engañoso decir que la mecánica lagrangiana tiene lugar en el espacio de configuración y luego decir que la mecánica hamiltoniana tiene lugar en el espacio de fase (lo que implica que no está relacionado con el espacio de configuración), ya que ambas son solo funciones reales en la tangente. y haces cotangentes del espacio de configuración respectivamente. Ninguno de ellos tiene lugar realmente solo en el espacio de configuración.
Bueno, la dinámica hamiltoniana se puede expresar en una variedad simpléctica general, de la cual el paquete cotangente de un espacio de configuración es solo un ejemplo. Una consecuencia importante es que la transformación canónica puede mezclar coordenadas de posición y momento, lo que no es posible en la mecánica lagrangiana.

Independencia de posición e impulso en acción.

Dris

charlie

qmecanico

Dris

qmecanico

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Dris

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charlie

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