Un problema al derivar la ecuación de Hamilton-Jacobi a partir de un principio variacional

Como ya he dicho, tengo un problema para entender un razonamiento del cual derivamos la ecuación de Hamilton-Jacobi a partir de un principio variacional. Tomemos el funcional de Hamilton:

$$S = \int_{t_0}^{t_1} [ p_{\alpha}\dot{q}^{\alpha} - H(q^{\alpha},p_{\alpha},t) ]\, dt$$

La primera variación del espacio fase de esta funcional es, en su forma más general:

$$(\delta S)_{\bar{\gamma}} = [p_\alpha \delta q^{\alpha} - H \delta t]_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} \left\{ \left[ \dot{q}^{\alpha} - \frac{\partial H}{\partial p_\alpha} \right]_{\bar{\gamma}}\pi_\alpha - \left[ \dot{p}_{\alpha} + \frac{\partial H}{\partial q^\alpha} \right]_{\bar{\gamma}}\eta_\alpha \right\}\, dt$$

Donde se evalúa la variación del funcional S sobre la deformación de la curva${\bar{\gamma}} \to \gamma$en el espacio de fases:

$$\bar{\gamma}: \begin{cases} q^{\alpha} = \overline{q}^{\alpha}(t) \\ p_{\alpha} = \overline{p}_{\alpha}(t) \\ A = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_0);\overline{p}_{\alpha}(t_0) \} \\ B = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_1);\overline{p}_{\alpha}(t_1) \} \\ \end{cases} \qquad t \in [t_0,t_1]$$ $$\gamma: \begin{cases} q^{\alpha} = \overline{q}^{\alpha}(t) + \lambda\eta_{\alpha}(t) \\ p_{\alpha} = \overline{p}_{\alpha}(t) + \lambda\pi_{\alpha}(t)\\ A' = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) + \lambda \eta_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) ; \overline{p}_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) + \lambda \pi_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) \} \\ B' = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1)+\lambda \eta_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1); \overline{p}_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1) + \lambda \pi_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1) \} \\ \end{cases} \qquad t \in [t_0 +\lambda \delta t_0,t_1 +\lambda \delta t_1]$$

Dónde$\eta_{\alpha}$y$\pi_{\alpha}$son función regular. Ahora, en mis notas elegimos$\bar{\gamma}$y dejamos$A=A'$, por lo que tenemos un punto fijo inicial. Entonces decimos que en la curva escogida se cumple la ecuación de Hamilton, de manera que la variación de S queda únicamente:

$$(\delta S)_{\bar{\gamma}} = [p_\alpha \delta q^{\alpha} - H \delta t]_{t_0}^{t_1}$$

[ Primera pregunta ¿Es esto legítimo? Si las ecuaciones de Hamilton se derivan del mismo principio variacional, ¿podemos decir "a priori" que son válidas en un camino particular en el espacio de fase? ]

Entonces consideramos el punto B móvil, por lo que depende del tiempo. De esta forma, S ya no es un funcional, sino una función del tiempo. Entonces la variación se puede interpretar como un diferencial:

$$dS= p_\alpha d q^{\alpha} - H d t$$

[ Segunda pregunta , deseo tener una prueba matemática para eso, porque para mí no es tan trivial como parece.]

Entonces podemos probar que S es función de$S(q^{\alpha}(t), t ,q^{\alpha}(t_0), t_0 )$, de modo que:

$$dS = \frac{\partial S}{\partial q^{\alpha}}d q^{\alpha} +\frac{\partial S}{\partial t} dt$$

Igualando los dos resultados, obtenemos:

$$\frac{\partial S}{\partial t} + H \left( q^{\alpha} , \frac{\partial S}{\partial q^{\alpha}}, t \right) = 0$$

Que es la ecuación de Hamilton-Jacobi.

Tercera pregunta ¿Este razonamiento es formalmente correcto? No se siente muy bien para mí. Y también, más importante, ¿conoces algún libro que trate el argumento de esta manera, o similar, que sea más riguroso?