¿Importancia del Lagrangiano en el Principio de Acción Mínima?

He estado estudiando la transformada de Legendre y ha sido divertido darme cuenta de que la relación entre el lagrangiano y el hamiltoniano es simplemente una transformada de Legendre, es decir,

(1) { H , pag } → { L , v } .

Lo vi por primera vez en este documento: https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.3119512

Este vínculo de transformación de Legendre entre el hamiltoniano/lagrangiano es claro porque implica,

(2) v ≡ d H d pag .

Lo cual ya sabemos por intuición/formulación del hamiltoniano. De todos modos, lo que me pregunto es por qué necesariamente usamos el Lagrangiano al calcular la acción. O más concretamente, al demostrar el principio de mínima acción, es decir,

(3) minimizar ( S = ∫ t 1 t 2 L d t ) .

Seguir la derivación de Feynman de esto para la mecánica clásica fue lo más simple para mí, y pude seguirlo. Pero supongo que mi pregunta es más por qué la función de acción usa el Lagrangiano y no el Hamiltoniano. Ahora, el resultado de la ecuación anterior para la mecánica clásica proporciona,

(4) d tu d X = − metro X ¨ .

Lo que es evidente es mostrar por qué el Lagrangiano funciona en la teoría. Pero, ¿hay alguna razón por la que no se nos solicite calcular lo siguiente?

(5) S = ∫ t 1 t 2 H d t .

(Aparte del hecho de que la transformación de Legendre nos dice que probablemente debería serlo, S = ∫ t 1 t 2 ( pag d H d pag − H ) d t . ) En otras palabras, ¿es lo primero simplemente porque la física es autoconsistente? ¿O me estoy perdiendo algo?

Tal vez útil
¿Podría dar un ejemplo de una respuesta que encontraría satisfactoria? En cierto nivel, la respuesta es "lo hacemos así porque funciona". Por ejemplo, encontrar una trayectoria para la cual la integral en el tiempo del lagrangiano sea estacionaria reproduce las leyes del movimiento de Newton, mientras que la misma afirmación no es cierta para la integral en el tiempo del hamiltoniano.
@Charlie En realidad, creo que esto es exactamente lo que estoy buscando. Solo le di una lectura rápida.
@Andrew Más que una pregunta teórica, supongo que una respuesta satisfactoria a la pregunta sería una que siga las matemáticas involucradas

Respuestas (1)

Por lo que vale: el principio de acción estacionaria propuesto por OP (5) [suponiendo que el hamiltoniano H ( q , pag , t ) no depende de q ˙ y pag ˙ ] implicaría 1

∂ H ∂ q   ≈   0   ≈   ∂ H ∂ pag ,
que no son ecuaciones de Hamilton . Para conocer el principio de acción hamiltoniano correcto, consulte, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

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1 El ≈ símbolo significa igualdad módulo EOM.

Ah bien. No he escuchado este término antes. Gracias por su respuesta. Hice una búsqueda superficial, pero no encontré esta publicación, así que eso depende de mí. Entonces, dado que el hamiltoniano es la energía total del sistema, si la integración de todos los valores a lo largo del tiempo produce un mínimo, ¿aceptamos que el campo potencial es cero y no hay velocidades (al menos pensando clásicamente)?
↑ Sí.
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