¿Interpretación de los componentes de Dirac Spinor en la representación quiral?

Por lo que he podido determinar, no es posible, en general, interpretar diferentes soluciones de la ecuación de Dirac como correspondientes a 'soluciones de electrones' o 'soluciones de positrones'.

Para fermiones masivos, podemos identificar cuatro espinores independientes que corresponden a una partícula con 4-momentum$p$. En la representación de Dirac tenemos dos soluciones correspondientes al ansatz$u(p) e^{- i p \cdot x}$, que para partículas en reposo toman la forma:

$$u_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad u_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$ Se dice que estos corresponden respectivamente al electrón de giro hacia arriba y al electrón de giro hacia abajo. También tenemos dos soluciones correspondientes al ansatz $v(p)e^{i p \cdot x}$, que para partículas en reposo son: $$v_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \,.$$ Se dice que estos corresponden respectivamente al positrón spin-down y al positrón spin-up. Todo parece muy bien, pero ahora repitamos esta receta con fermiones sin masa . Usaremos la representación de Weyl y supondremos que nuestro 3-momentum está dirigido a lo largo del positivo $z$-eje. Con nuestro ansatz inicial, encontramos que la ecuación de Dirac se reduce a: $$(\gamma^0 - \gamma^3)u(p) = 0 \,.$$ Sin embargo, con nuestro segundo ansatz, la ecuación de Dirac se reduce a lo mismo: $$(\gamma^0 - \gamma^3)v(p) = 0 \,.$$ Estas ecuaciones no serían idénticas si $m \neq 0$. Sólo hay dos soluciones independientes: $$u_1 = v_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad u_2 = v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$ Por lo tanto, no podemos simplemente interpretar un espinor particular como correspondiente a un 'electrón de giro hacia arriba', por ejemplo, porque el mismo espinor también tendría que corresponder a un 'positrón de giro hacia abajo'.

La expectativa de que deberíamos haber encontrado cuatro soluciones --- una para cada una de las cuatro opciones posibles de arriba/abajo y partícula/antipartícula --- me parece errónea, porque las antipartículas son solo un concepto significativo en la teoría cuántica, y no necesitan corresponden a espinores independientes en la teoría clásica. A modo de ilustración, una teoría con dos fermiones de igual masa pero por lo demás distintos tendría ocho estados cuánticos diferentes para cada elección de momento, pero ciertamente no encontraría ocho soluciones de espinor diferentes para las ecuaciones clásicas. Su 'electrón' giratorio y su 'muón' giratorio serían descritos por el mismo espinor, ¡pero eso no los convierte en el mismo estado!

Herísticamente, se reduce al hecho de que la transformación de paridad (P) invierte el signo de la$\gamma$matrices, mientras que CT gira$\gamma^\mu\to-\left(\gamma^\mu\right)^T$. Estas son nuevamente representaciones equivalentes del álgebra de Dirac, y los entrelazadores se denominan comúnmente$\gamma^5$y$C$. Tenga en cuenta que las transformaciones C y T en sí mismas no son simetrías del álgebra de Dirac.

Parece que usas la convención donde el$\gamma$Las matrices están compuestas por las matrices de Pauli,

$$\gamma=\begin{pmatrix}0&\sigma^\mu\\\bar\sigma^\mu&0\end{pmatrix}\,.$$ Aquí,$\sigma^\mu=\left(\mathbb I,\sigma^i\right)$y$\bar\sigma^\mu=\left(\mathbb I,-\sigma^i\right)$. ($\mathbb I$es la matriz unitaria; parece que no puedo obtener el doble trazo adecuado 1). Después $$\gamma^5=\text{i}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =\begin{pmatrix}\mathbb I&0\\0&-\mathbb I\end{pmatrix}\,,$$ y los proyectores quirales$P_{L/R}=\frac{1}{2}\left(1\pm\gamma^5\right)$proyectar sobre los dos componentes superior e inferior de un espinor de cuatro. Por lo tanto, los espinores quirales son $$\Psi_L=\begin{pmatrix}\chi_\alpha\\0\end{pmatrix}\quad\text{ and }\quad\Phi_R=\begin{pmatrix}0\\\bar\xi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}\,.$$ (Las ubicaciones de los índices y varios signos son una cuestión de convención). Sus "conjugados de carga" son $$\left(\Psi_L\right)^c=C\overline{\Psi_L}^T=\begin{pmatrix}0\\\bar\chi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}$$ y similares para$\Phi_R$. Verá que esto invierte la quiralidad, pero también la carga: las cargas están determinadas por la transformación bajo algunos$U(1)$, y dado que se trata de una conjugación compleja, la transformación se invierte. Para grupos no abelianos, terminas en la representación conjugada. En ambos casos, terminas con un objeto de carga opuesta al original. Por lo tanto, un espinor de Majorana, es decir, un espinor de Dirac que es igual a su carga conjugada, no puede tener un$U(1)$cargo (o estar en una representación no real). Además, dicho espinor puede describirse igualmente bien mediante un solo espinor de Weyl zurdo (o diestro). (Tenga en cuenta que esto es diferente en seis o diez dimensiones, donde la conjugación de carga no invierte la quiralidad).

Entonces, para describir el electrón (en realidad, una versión de juguete con solo cargas eléctricas y sin cargas débiles), puede usar dos espinores quirales izquierdos,$\chi_\alpha$y$\xi_\alpha$, de carga opuesta o un objeto de cuatro componentes

$$\Psi=\begin{pmatrix}\chi_\alpha\\\bar\xi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}\,.$$