Transformación de Lorentz del campo de Spinor

Estoy leyendo el capítulo 3 de Peskin y Schroeder y estoy atascado en la página 43 de P&S. Han definido los generadores de Lorentz en la representación del espinor como:

$$\begin{equation} S^{\mu \nu} = \frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu] \end{equation}$$ tal que una transformación finita viene dada por: $$\begin{equation} \Lambda_{1/2}=e^{-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} S^{\mu \nu}} \end{equation}$$ dónde $\gamma^\mu$son las matrices gamma y $\omega_{\mu \nu}$son los elementos de una matriz real y antisimétrica. Según P&S en la página 43 (entre la ecuación (3.32) y (3.33), dicen que el adjunto de un espinor de Dirac se transforma de la siguiente manera: $$\begin{equation} \psi^\dagger \rightarrow \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}(S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{equation}$$ Sin embargo, esperaría que la transformación fuera: $$\begin{equation} \begin{aligned} \psi^\dagger & \rightarrow \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}S^{\mu \nu} \right)^\dagger \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} (\omega_{\mu \nu})^\dagger (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \\& = \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{aligned} \end{equation}$$ donde en la última línea hice uso del hecho de que $\omega$es una matriz real y antisimétrica: $$\begin{equation} (\omega_{\mu \nu})^\dagger = (\omega_{\mu \nu})^T = \omega_{\nu \mu} = - \omega_{\mu \nu} \end{equation}$$ Esto implica que, según mis cálculos, la ecuación (3.33) de P&S en realidad debería ser: $$\begin{equation} \overline{\psi} \rightarrow \overline{\psi} \Lambda_{1/2} \end{equation}$$ Esta ecuación debe ser incorrecta porque significa que $\overline{\psi} \psi$no se transforma como un escalar y por lo tanto el Lagrangiano de Dirac no es correcto. Sin embargo, no sé dónde está mi error y esperaba que alguien pudiera ayudarme.