¿La definición de compresibilidad depende del marco de referencia?

Según muchos autores, un fluido se define como incompresible si la derivada material de la densidad D ρ D t es cero, es decir, que en un marco de referencia que sigue el movimiento de una parcela de aire, la densidad no cambia. Esto a su vez significa, según la ecuación de continuidad,

D ρ D t + ρ ∇ ⋅ V → = 0 ,

de modo que ∇ ⋅ V → = 0 . Hasta ahora, todo bien.

Sin embargo, consideremos un caso simple en 1D en el que la densidad es de la forma ρ ( X , t ) = X − t y V → = tu X i ^ . Ambos campos satisfacen la ecuación de continuidad. Esto es más evidente si usamos la otra forma de la ecuación de continuidad,

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ V → ) = 0

Claramente, para el campo de velocidad que di, ∇ ⋅ V → = 0 , y el fluido es incompresible, pero como podemos ver, la densidad cambia con el tiempo y el espacio. Además, en una posición fija (es decir, en un marco de referencia estacionario), la densidad cambiaría con el tiempo.

Entonces, ¿la densidad depende del marco de referencia? ¿Cuál es la definición real de compresibilidad en la mecánica de fluidos?

Respuestas (3)

La definición de incompresibilidad es que la densidad de un paquete fluido (un elemento de volumen) no cambia (es decir, es constante); esta es tu primera ecuacion:

D D t ρ ( X 0 , t ) = 0
lo que conduce a la restricción solenoidal , ∇ ⋅ tu = 0 .

En cuanto a su "contraejemplo", no hay problemas porque el campo de densidad en realidad puede variar en el espacio y el tiempo en marcos tanto lagrangianos como eulerianos. Es solo que en el primero, sigues la evolución de un paquete de fluido de densidad constante ( ρ ( X 0 , t ) ) en lugar de seguir la evolución de la cuadrícula en este último ( ρ ( X , t ) ).

Entiendo sus argumentos, pero no veo cómo refutan la validez de mi contraejemplo. Entiendo todo lo que significa compresibilidad, pero lo redefiniría de esta manera: un fluido es incompresible cuando se le da una distribución inicial de densidad, incluso para la cual la densidad puede variar en el espacio (esto es lo que me desconcierta, porque entonces el fluido sería comprimible), esta distribución no cambia (es decir, la densidad de un paquete fluido no cambia en el tiempo). Creo que sería una mejor manera de entenderlo.
Su problema es combinar los dos marcos. El marco lagrangiano considera la evolución de un volumen deformable de densidad constante. El marco Euleriano considera la evolución de una rejilla fija . Su definición ya está esencialmente empleada, cuando se entiende correctamente, en forma de D t ρ = 0 y como se define en mi respuesta.
Tenga en cuenta también que su "contraejemplo" solo funciona si V = 1 , de lo contrario no satisface ni la continuidad ni la incompresibilidad.
Creo que entiendo ambos enfoques: en un marco lagrangiano, te mueves con un fluido y en un marco euleriano, te quedas fijo en el espacio y observas el movimiento del fluido pasar por ti. Lo que realmente quiero decir es que es básicamente una cuestión de terminología. Personalmente creo que incompresible no se debe usar en la definición, porque la idea que tengo de incompresibilidad es la de algo constante tanto en el espacio como en el tiempo, y di un ejemplo de un fluido que es incompresible por la definición, pero cambia en el espacio en un tiempo fijo.
Por cierto, ¿podría dar un ejemplo en el que no funcionaría si V ≠ 1 ?
@ alfdc80: Su definición de incompresibilidad no es incompresibilidad sino un fluido estacionario . Incompresible simplemente significa que la densidad en un volumen fijo es constante. y cualquier V que no es 1 devolverá un valor distinto de cero a su elección o r h o , ¿ha intentado usar digamos 10? Porque termino con -9
Mi definición de incompresibilidad (algo cuya densidad es constante tanto en el espacio como en el tiempo) tiene un nombre, fluido homogéneo incompresible, o al menos eso dice wikipedia. No estoy muy seguro, pero creo que el flujo estacionario significa que el campo de velocidad es solo una función de la posición pero no del tiempo. tu derecho Cualquier V que no sea 1 devolverá un valor distinto de cero y mi contraejemplo solo funciona si V = 1 , pero que quieres decir con eso?

En toda la física clásica, generalmente se asume que el observador está en un marco inercial. Este marco es el marco donde los objetos sin fuerza actuando sobre ellos se mueven en línea recta (o están en reposo). Si uno usa un marco no inercial, digamos con aceleración constante, entonces las leyes de la física tomarán una forma diferente.

Einstein argumentó que las leyes de la física deberían estar en forma covariante general, de modo que no debería importar en qué marco se encuentre uno.

Creo que tu problema es que, según lo que dijiste el 26 de abril a las 11:15, realmente no entiendes lo que significa incompresible. Si tiene una cierta distribución inicial no uniforme de ρ en el espacio no significa que la distribución se mantendrá constante con respecto al tiempo, al contrario, para que el valor de densidad de una determinada partícula (pequeña porción de fluido) permanezca constante en el tiempo debes seguirla a lo largo de su movimiento para se da cuenta de que permanece constante y al hacerlo se da cuenta de que el valor "constante" de ρ se asigna a diferentes lugares en diferentes momentos. En resumen, una distribución inicial no uniforme en el espacio no permanecerá invariable con el tiempo porque las diferentes partículas llevan consigo sus valores de ρ mientras se mueven. Para que su contraejemplo sea general, debe poner ρ ( X , t ) = X − t tu X y este es realmente un buen ejemplo, no un "contraejemplo"

También quiero agregar un comentario a la respuesta de Kyle kanos, creo que en la formulación lagrangiana la incomprensibilidad no permite ρ variar con el tiempo

Creo que la frase "esta distribución no cambia (es decir, la densidad de un paquete fluido no cambia con el tiempo)" en mi comentario del 26 de abril a las 11:15 no es lo suficientemente clara. Lo que quise decir con eso es que, en un marco de referencia que se mueve a la misma velocidad que la del fluido, la densidad puede cambiar en el espacio, pero no en el tiempo, por lo tanto D ρ D t = 0 , y el fluido es incompresible según la definición.
Pero como dijiste, si tienes una cierta distribución inicial no uniforme de ρ en el espacio, no significa que la distribución se mantendrá constante con respecto al tiempo, y mi ejemplo (como el tuyo también) es un buen ejemplo de eso. Por lo tanto, creo que no debería llamarse incompresible, aunque lo es por definición.
Además, parece que la definición depende del marco de referencia. Si te mueves con el fluido, no cambia con el tiempo, si permanece fijo en algún punto, sí lo hace.
¿La definición de compresibilidad depende del marco de referencia?
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