¿Qué significa?

La razón por la que son conservadores o no conservadores tiene que ver con la división de los derivados. Considere la derivada conservadora:

Cuando discretizamos esto, usando una derivada numérica simple solo para resaltar el punto, obtenemos:

Ahora, en forma no conservativa, la derivada se divide como:

Usando la misma aproximación numérica, obtenemos:

Así que ahora puedes ver (¡con suerte!) que hay algunos problemas. Mientras que la derivada original es matemáticamente la misma, la forma discreta no es la misma. De particular dificultad es la elección de los términos que multiplican la derivada. Aquí lo tomé en el punto$i$, pero es$i-1$¿mejor? tal vez en$i-1/2$? Pero entonces, ¿cómo lo conseguimos en$i-1/2$? promedio simple? ¿Reconstrucciones de orden superior?

Esos argumentos solo muestran que la forma no conservativa es diferente y, en cierto modo, más difícil, pero ¿por qué se llama no conservativa? Para que una derivada sea conservativa, debe formar una serie telescópica . En otras palabras, cuando sumas los términos sobre una cuadrícula, solo deben permanecer los términos de los límites y los puntos interiores artificiales deben cancelarse.

Así que echemos un vistazo a ambas formas para ver cómo funcionan. Supongamos una cuadrícula de 4 puntos, que van desde$i=0$a$i=3$. La forma conservativa se expande como:

Puedes ver que cuando lo sumas todo, terminas con solo los términos de contorno ($i = 0$y$i = 3$). Los puntos interiores,$i = 1$y$i = 2$han cancelado.

Ahora veamos la forma no conservativa:

Así que ahora, ¡terminas sin términos de cancelación! Cada vez que agrega un nuevo punto de cuadrícula, está agregando un nuevo término y la cantidad de términos en la suma crece. En otras palabras, lo que entra no equilibra lo que sale, por lo que no es conservador.

Puedes repetir el análisis jugando con alterar la coordenada de esos términos fuera de la derivada, por ejemplo, intentando$i-1/2$donde eso es solo el promedio del valor en$i$y$i-1$.

¿Cómo elegir cuál usar?

Ahora, más concretamente, ¿cuándo quieres usar cada esquema? Si se espera que su solución sea fluida, entonces la solución no conservadora puede funcionar. Para fluidos, se trata de flujos sin choques.

Si tiene choques, reacciones químicas o cualquier otra interfaz aguda, entonces desea usar la forma conservadora.

Hay otras consideraciones. A muchas situaciones de ingeniería del mundo real les gustan los esquemas no conservadores cuando resuelven problemas con choques. El ejemplo clásico es el esquema de Murman-Cole para las ecuaciones de potencial transónico. Contiene un cambio entre un esquema central y contra el viento, pero resulta ser no conservador.

En el momento en que se introdujo, obtuvo resultados increíblemente precisos. Resultados comparables a los resultados completos de Navier-Stokes, a pesar de utilizar las ecuaciones de potencial que no contienen viscosidad. Descubrieron su error y publicaron un nuevo artículo, pero los resultados fueron mucho "peores" en relación con el esquema original. Resulta que la no conservación introdujo una viscosidad artificial, haciendo que las ecuaciones se comporten más como las ecuaciones de Navier-Stokes a una pequeña fracción del costo.

No hace falta decir que a los ingenieros les encantó esto. ¡"Mejores" resultados por un costo significativamente menor!

Muestra las ecuaciones de Euler, formas reducidas de Navier-Stokes, que son leyes de conservación de la masa, el impulso y la energía junto con la hipótesis de Stoke. Ahora bien, conservador/no conservador no tiene nada que ver con las leyes de conservación.

En forma conservadora, puede integrar directamente las derivadas una vez en un volumen de control y conservar las cantidades de flujo a través de las superficies de control (es decir, método de volumen finito). Esa es la forma conservadora versus no conservadora (el flujo).

En los algoritmos CFD, la forma tiene implicaciones importantes con la ubicación de los choques y las velocidades de propagación. Para flujos comprimibles, desea utilizar las formas conservadoras (donde tiene choques).

Una razón importante (quizás no la única) de las etiquetas "conservadoras" y "no conservativas" de las ecuaciones de conservación está relacionada con su solución numérica. Cuando se escribe en forma conservativa, después de la discretización de la ecuación diferencial por un método numérico, como el método del volumen finito, la ecuación algebraica resultante aún mantiene el principio de conservación, independientemente del tamaño del volumen finito. En otras palabras, todavía se puede ver el equilibrio de la variable conservada (masa, momento, concentración de especies) en la ecuación algebraica. Por otro lado, cuando una ecuación en forma no conservativa se discretiza por, digamos, un método de diferencias finitas o elementos finitos, la conservación solo está garantizada cuando se refina la malla numérica. En este caso, el equilibrio no se puede ver en el algebraico, ecuación discretizada. Por lo tanto, esta etiqueta solo tiene sentido cuando se manejan ecuaciones de conservación. No tiene ningún sentido tratar de escribir una ecuación diferencial que no tenga relación con un principio de conservación en forma conservativa o no conservativa.

Todas las respuestas son buenas, pero esas no responden a la pregunta. La pregunta es muy básica y dice:

P: ¿cuándo se dice que un modelo matemático es conservativo y cuándo no conservativo?

R: un modelo matemático se llama conservativo cuando se deriva directamente de la conservación de cantidades matemáticas dentro de un volumen de control, es decir, de una ley de conservación.

Más en detalle, si además de la conservación simple (es decir, la conservación de la masa o el momento) también aplicamos la regla de la cadena, entonces obtenemos un modelo matemático no conservativo, llamado así porque ya no describe la conservación de una cantidad en un volumen de control, ya que no se deriva directamente de una ley de conservación. ¿Pero no son las dos formulaciones equivalentes? ¡¡¡NO!!! Son equivalentes sólo si la solución es continua. ¡No podemos aplicar la regla de la cadena si la solución no es continua! Por lo tanto, la forma no conservativa no puede describir correctamente la propagación de discontinuidades (es decir, choques). Vea el libro de Toro para más detalles.

Resumiendo: la pregunta es sobre el modelo matemático, no sobre la discretización numérica. Claramente, existe un fuerte vínculo entre el modelo numérico y matemático, y todas las demás respuestas son excelentes. Pero no responden a la pregunta.