¿Cómo justifica el teorema de la divergencia la forma integral de la ecuación de continuidad?

La forma intuitiva de pensar en esto es considerar un gas dentro de un recipiente de vidrio (que no puede expandirse). Si el gas se expande , ¿qué debe suceder como resultado? El gas se escapa del recipiente. De manera similar, si intento poner más gas en el recipiente, entonces el gas se comprime .

El campo vectorial $\mathbf F$es lo que usamos para describir el flujo de un fluido. La divergencia de este campo describe la expansión o compresión de un gas. Lo que dice el teorema de la divergencia es que la expansión (o compresión) total del gas en algún volumen$V$es igual al flujo del fluido que sale (o entra) del límite (es decir, cuánto material sale (o entra) de la superficie$S$). Matemáticamente, esto es

$$\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ dónde $\mathbf F\cdot d\mathbf S$representa la cantidad normal a la superficie.

Entonces para un volumen de masa$m$, la tasa de cambio de tiempo de la masa es igual a la anterior (suponiendo que no hay otras fuentes de materia):

$$\frac{\partial m}{\partial t}=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ que es nuestra formulación integral de la ecuación de continuidad.

Ya que sabemos que$m=\int\rho\,dV$, entonces lo anterior es

$$\frac{\partial}{\partial t}\int\rho\,dV=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ Y dado que las coordenadas temporales y espaciales son ortogonales, podemos intercambiarlas para obtener $$\int\frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ Y por último, dado que el volumen es arbitrario, entonces los dos términos de la izquierda arriba deben ser $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf F$$ que es nuestra forma diferencial de la ecuación de continuidad.