Los ejemplos simples de conjuntos a menudo se describen a través de la notación de lista (también conocida como notación de enumeración) como - simplemente escriba los elementos del conjunto entre los dos delimitadores del conjunto (corchetes) y sepárelos con comas.
En la teoría axiomática de conjuntos, esta notación también ocurre en el Axioma de emparejamiento:
Para cualquier y existe un conjunto que contiene exactamente y .
Entonces es fácil ver que . De manera más general, se puede leer que el ordenamiento y la enumeración múltiple de los elementos en la notación de lista es irrelevante, por ejemplo, tenemos .
En la teoría axiomática de conjuntos, el concepto de par ordenado no se introduce por un axioma separado, pero de alguna manera se define en base a los axiomas existentes, por ejemplo por . De manera más general, el concepto de una tupla ordenada se puede presentar de esa manera.
Aquí van mis dudas:
Me parece que la notación de lista se basa en un concepto intuitivamente preexistente de una tupla ordenada . Escribir elementos secuencialmente de izquierda a derecha en realidad no produce un conjunto, sino una tupla. Entonces tenemos una cierta relación de equivalencia para tales tuplas que nos dice cuándo considerar dos tuplas como el "mismo conjunto". Pero la teoría de conjuntos no debería basarse en un requisito previo tan intuitivo. De hecho, incluso el axioma del apareamiento se basa en un concepto intuitivo de par. La reintroducción posterior de este concepto a través de una definición parece ser circular.
Uno podría argumentar que es corto para . Pero incluso en esta notación tenemos un par de condiciones, separadas por un en lugar de una coma. Sí, y son equivalentes, pero solo para afirmar este hecho se requiere una comprensión intuitiva del "ordenamiento" que la teoría axiomática de conjuntos afirma ser reducible a conceptos más elementales.
En otras palabras: comenzamos con un concepto intuitivo de pares o tuplas como ingredientes de los axiomas y luego reintroducimos "limpiamente" estos conceptos usando los axiomas basados en el mismo concepto (pero previamente impuro).
Mi pregunta:
Por lo general, la notación de lista ocurre al comienzo de los textos sobre teoría de conjuntos. Pero involucra ingredientes que no están realmente disponibles en un sentido preciso en ese momento:
Secuencias finitas de elementos, es decir, tuplas ordenadas
Permutaciones de tuplas ordenadas
Un proceso de reducción eliminando duplicados en tuplas
Se puede argumentar que al principio una comprensión intuitiva de estos ingredientes es suficiente para hacerse una idea de lo que significa la notación de lista. El significado preciso quedará claro después de haber introducido los ingredientes necesarios a través de un enfoque axiomático.
Pero el axioma de emparejamiento implica la notación de lista antes de que los ingredientes anteriores se hayan definido correctamente. ¿Es esto un círculo vicioso? ¿Necesitamos un nuevo enfoque axiomático que evite este problema? Más precisamente, ¿necesitamos un concepto axiomático adicional de un par ordenado?
Tenemos Axiom of Extensionality y Axiom of Paring en la teoría de conjuntos que juntos podrían resolver su pregunta.
Axioma de Extensionalidad. Para cualquier tenemos si y solo si para cualquier , es decir, en las formas formales del lenguaje de la teoría de conjuntos
El axioma de extensionalidad muestra que la ordenación y el listado múltiple de los elementos en notación de lista es irrelevante para identificar conjuntos.
Axioma de emparejamiento. Para cualquier hay algo tal que y , es decir, en las formas formales del lenguaje de la teoría de conjuntos
Por Axioma de Extensionalidad y Axioma de Emparejamiento, tenemos
Proposición 1. Para cualquier ,
(1) hay un mínimo tal que y , es decir, , y
(2) hay un mínimo tal que , es decir, .
Con el Axioma de Emparejamiento en la mano, podemos definir pares ordenados.
Definición 2. Para cualquier , colocar .
Por el Axioma de Extensionalidad podemos demostrar que es de hecho un par ordenado .
Proposición 3. Para cualquier tenemos si y solo si y .
Espero que esto sea útil para ti.
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Mauro ALLEGRANZA
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