Variación de término como ∂RabRab∂Rabcd∂RabRab∂Rabcd\frac{\parcial R_{ab} R^{ab}}{\parcial R_{abcd}}, ∂RabcdRabcd∂Refgh∂RabcdRabcd∂Refgh\frac{\parcial R_ {abcd} R^{abcd}}{\parcial R_{efgh}}

Empezamos por señalar que

$$\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial\left(R_{caeb}g^{ce}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial\left(R_{cdef}\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}\right)}{\partial R_{cdef}},$$ sugiriendo una respuesta en la línea de$\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}$. Pero por las propiedades de antisimetría del tensor de Riemann, hay más de una forma de escribir$R_{ab}$como una contradicción de$R_{cdef}$con un tensor.

Necesitamos una antisimetría al intercambiar$c$con$d$, sugiriendo una respuesta en la línea de$\frac{1}{2}\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}-\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}g^{de}\right)$. Pero eso tampoco puede ser del todo correcto: también necesitamos una antisimetría al intercambiar$e$con$f$, sugiriendo una respuesta en la línea de$\frac{1}{4}\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}-\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}g^{de}-\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{e}g^{cf}+\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{e}g^{df}\right)$. Pero todavía necesitamos$cdef\to efcd$ser una simetría, dando el resultado final

$$\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}=X_{ab}^{cdef}:=\frac{1}{8}\left(\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{d}\right)g^{ce}-\left(\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{c}\right)g^{de}-\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{e}+\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{d}\right)g^{cf}+\left(\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{e}+\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{c}\right)g^{df}\right).$$

Tenga en cuenta que cada término tiene$ab$como índices más bajos y$cdef$como índices superiores.

Por la regla del producto,

$$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}R^{ab}+R_{ab}\frac{\partial R^{ab}}{\partial R_{cdef}}.$$ Podemos cambiar las alturas de$a,\,b$en el segundo término, a saber. $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=2R^{ab}X_{ab}^{cdef}.$$ Expresiones como$R^{ab}\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}=g^{ce}R^{df}$dar $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{1}{2}\left(g^{ce}R^{df}-g^{de}R^{cf}-g^{cf}R^{de}+g^{df}R^{ce}\right).$$ Tenga en cuenta que cada término tiene$cdef$como índices superiores y$ab$no existen en el lado derecho, ya que son índices ficticios contraídos en el lado izquierdo.

Para la segunda derivada, imagina que en su lugar quisiéramos$\frac{\partial \left(V_aV^a\right)}{\partial V_b}$para un vector; la respuesta seria$2V^b$, sugiriendo una respuesta como$2R^{efgh}$. Esto ya tiene las propiedades correctas, así que hemos terminado.

Del útil comentario @JG,

$$\begin{align} \frac{\partial (R_{ab} R^{ab})}{\partial R_{cdef}} = 2 R^{ab} X^{cdef}_{ab}, \qquad X^{cdef}_{ab} = \frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}} \end{align}$$

Trate de calcular

$$\begin{align} R_{\mu\nu} &= R_{abcd} g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c \\ & = \frac{1}{8} R_{abcd} (g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{bd} \delta_\mu^c \delta_\nu^a - g^{ad} \delta_\mu^b \delta_\nu^c - g^{ad} \delta_\mu^c \delta_\nu^b - g^{bc} \delta_\mu^d \delta_\nu^a - g^{bc} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{ac} \delta_\mu^d \delta_\nu^b + g^{ac} \delta_\mu^b \delta_\nu^d) \end{align}$$ donde i antisimetrizó (a,b) y (c,d) y simetrizó los pares (ab, cd), y simetrizó $\mu,\nu$en paréntesis lateral

Así que supongo que

$$\begin{align} X^{abcd}_{\mu\nu} =\frac{\partial R_{\mu\nu}}{\partial R_{abcd}} =\frac{1}{8} (g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{bd} \delta_\mu^c \delta_\nu^a - g^{ad} \delta_\mu^b \delta_\nu^c - g^{ad} \delta_\mu^c \delta_\nu^b - g^{bc} \delta_\mu^d \delta_\nu^a - g^{bc} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{ac} \delta_\mu^d \delta_\nu^b + g^{ac} \delta_\mu^b \delta_\nu^d) \end{align}$$

$$\begin{align} \frac{\partial R_{\mu\nu} R^{\mu\nu}}{\partial R_{abcd}} & = R^{a[c} g^{b]d} + R^{b[d} g^{a]c} =\frac{1}{2} \left( R^{ac} g^{bd} - R^{bc} g^{ad} - R^{ad} g^{cb} + R^{bd} g^{ca}\right) \end{align}$$

¿Tengo razón?