Ecuación de movimiento de D=3D=3D=3 Acción de Lorentz Chern-Simons

En tres dimensiones, la conocida acción de Lorentz Chern-Simons es

$$S_{\text{CS}}=\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}\bigg(\omega_{\mu}{}^{ab}R_{\nu\rho ab}+\frac{2}{3}\omega_{\mu a}{}^{b}\omega_{\nu b}{}^{c}\omega_{\rho c}{}^{a}\bigg) \tag{1}$$ dónde $\omega_{\mu ab }$es la conexión de espín de Lorentz y $R_{\mu\nu ab}$es su intensidad de campo correspondiente, $$R_{\mu\nu ab}=\partial_{\mu}\omega_{\nu ab}-\partial_{\nu}\omega_{\mu ab}+\omega_{\mu a}{}^{f}\omega_{\nu fb}-\omega_{\nu a}{}^{f}\omega_{\mu fb}. \tag{2}$$ Me gustaría obtener la ecuación de movimiento correspondiente a una variación arbitraria en el vielbein $e_{a}{}^{\mu}$, que está relacionado con la conexión de espín a través de la condición de torsión cero (o, de manera equivalente, la condición de compatibilidad de vielbein). Siguiendo las instrucciones de la nota al pie de la página 438 en [1] (página 30 de la portada), varío (1) con respecto a la conexión de espín a obtener, $$\delta[S_{\text{CS}}]=\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}R_{\nu\rho}{}^{ab}\delta\omega_{\mu ab}.\tag{3}$$ Ahora, variando la condición de compatibilidad de vielbein, podemos obtener $\delta\omega_{\mu ab}$en términos de una variación en el vielbein, $$\begin{align} 0=&\nabla_{\mu}e_{\nu}{}_a=\partial_{\mu}e_{\nu a}+\omega_{\mu ab}e_{\nu}{}^{b}-\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}e_{\rho a}\implies \delta\omega_{\mu ab}=e_{b}{}^{\nu}\big(\delta\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}e_{\rho a}-\nabla_{\mu}\delta e_{\nu a}\big). \tag{4} \end{align}$$ Después de insertar (4) en (3), el segundo término de (4) no contribuye porque después de integrar por partes, tenemos un término de la forma $\varepsilon^{\mu\nu\rho}(\nabla_{\mu}R_{\nu\rho}{}^{ab})e_{b}{}^{\sigma}\delta e_{\sigma a}$que se desvanece en virtud de la segunda identidad de Bianchi en $R$. Por lo tanto, la variación total es $$\delta[S_{\text{CS}}]=\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}R_{\nu\rho\alpha}{}^{\sigma}\delta\Gamma_{\mu\sigma}^{\alpha}\tag{5}$$ que ahora se puede expresar completamente en términos de la variación de la métrica. Todo lo que he hecho hasta ahora ha seguido las instrucciones de la nota al pie antes mencionada. Los autores afirman ahora que al expresar $\delta\Gamma_{\mu\sigma}{}^{\alpha}$en términos de $\delta g_{\mu\nu}$se puede demostrar que el resultado es $$\delta[S_{\text{CS}}]=\int\text{d}^3xC^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\tag{6}$$ dónde $C^{\mu\nu}$es el tensor de algodón definido por $$C^{\mu\nu}=\varepsilon^{\mu\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\widetilde{R}_{\beta}{}^{\nu},\qquad \widetilde{R}_{\alpha\beta}=R_{\alpha\beta}-\frac{1}{4}g_{\alpha\beta}R, \tag{7}$$ ( $\widetilde{R}$es el tensor de Schouten). Sin embargo, a pesar de los comentarios de los autores, no puedo llegar a (6) a partir de (5). La razón es la siguiente. Al aplicar la conocida fórmula $$\delta\Gamma_{\mu\sigma}^{\alpha}=\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\big(\nabla_{\mu}\delta g_{\beta\sigma}+\nabla_{\sigma}\delta g_{\beta\mu}-\nabla_{\beta}\delta g_{\mu\sigma}\big) \tag{8}$$ a (5) e integrando los tres términos por partes, el primero desaparece por la identidad de Bianchi nuevamente, mientras que el segundo es igual al tercero. Esto me lleva al siguiente resultado, $$\delta[S_{\text{CS}}]=\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}\nabla^{\beta}R_{\nu\rho\beta}{}^{\sigma}\delta g_{\mu\sigma}\tag{9}$$ que, después de usar la identidad $$\nabla^{\beta}R_{\nu\rho\beta\sigma}=\nabla_{\nu}R_{\sigma\rho}-\nabla_{\rho}R_{\sigma\nu},\tag{10}$$ reduce a $$\delta[S_{\text{CS}}]=2\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}\nabla_{\nu}R_{\rho}{}^{\sigma}\delta g_{\mu\sigma}\tag{11}.$$ También se habría llegado a la misma conclusión si se hubiera utilizado la observación de que en D=3, $$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=g_{\alpha\gamma}\widetilde{R}_{\beta\delta}+g_{\beta\delta}\widetilde{R}_{\alpha\gamma}-g_{\alpha\delta}\widetilde{R}_{\beta\gamma}-g_{\beta\gamma}\widetilde{R}_{\alpha\delta}. \tag{12}$$ El integrando en (11) claramente no es equivalente al de (6), los términos proporcionales al escalar de Ricci no son aparentes. ¿Qué salió mal?

[1]: S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton; Teorías de calibre topológicamente masivas (1982).