Variación con respecto a RabcdRabcdR_{abcd}? Cómo calcular∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\parcial R}{\parcial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

Question

Variación con respecto a RabcdRabcdR_{abcd}? Cómo calcular∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\parcial R}{\parcial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

phy_math

Recientemente, me he interesado en la fórmula de entropía de Wald. En este formalismo, hay un tensor $P^{abcd}=\frac{\partial L}{\partial R_{abcd}}$ .

Entre algunos papeles mencionan $P^{abcd}$ , describiendo sus propiedades simétricas antisimétricas. Pero quiero saber la forma explícita de $P$ en algunos casos.

Hay resultados conocidos de la acción de Einstein-Hilbert (mencionan, $P^{abcd}=\frac{1}{2}(g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})$ para el caso de Einstein Hilbert), por lo que asumo que

\begin{aligned} \frac{\partial R}{\partial R_{a b C d}} = \frac{1}{2} ({gramo}^{a C} {gramo}^{b d} - {gramo}^{a d} {gramo}^{b C}) (?) \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}(g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})(?) \end{align}$ dónde

g

$g$ es la métrica simétrica habitual,

R_{a b c d}

$R_{abcd}$ es el tensor de curvatura de Riemann, y

R

$R$ es el escalar de Ricci.

Parece que tratan $R_{abcd}$ y $g_{ab}$ de forma independiente, por lo que mi primera prueba es descomponer $R=g^{ac}g^{bd}R_{abcd}$ , e intenta calcular $\frac{\partial R_{pqrs}}{\partial R_{abcd}}$ , de los argumentos simétricos

\begin{aligned} \frac{\partial R_{a b C d}}{\partial R_{pag q r s}} = d_{a b}^{pag q} d_{C d}^{r s} + d_{C d}^{pag q} d_{a b}^{r s} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial R_{abcd}}{\partial R_{pqrs}}=\delta_{ab}^{pq}\delta^{rs}_{cd}+\delta_{cd}^{pq}\delta^{rs}_{ab} \end{align}$ Pero conectando esto a

R

$R$ , obtengo una respuesta algo diferente que se muestra arriba.

¿Estoy haciendo algo mal?

Si ha experimentado este tipo de derivada, ¿tiene alguna pista o consejo para este tipo de cálculo algebraico?

qmecanico

Hola @phy_math: ¿Esto es del libro GR de Wald? ¿Qué referencia precisa? ¿Qué página?

phy_math

@Q Mechanical, proviene del artículo de Wald relacionado con BlackHoles. Veo mucho este tipo de ecuaciones en gravedad modificada,

f (R)

$f(R)$ , y la gravedad de Gauss Bonnet, teorías de derivadas superiores, etc.

Respuestas (1)

Variación con respecto a RabcdRabcdR_{abcd}? Cómo calcular∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\parcial R}{\parcial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

Hola @phy_math: ¿Esto es del libro GR de Wald? ¿Qué referencia precisa? ¿Qué página?
@Q Mechanical, proviene del artículo de Wald relacionado con BlackHoles. Veo mucho este tipo de ecuaciones en gravedad modificada, $f(R)$ , y la gravedad de Gauss Bonnet, teorías de derivadas superiores, etc.

JG · Answer 1

Primero, tenga en cuenta que

R = R_{a C} {gramo}^{a C} = R_{a b C d} {gramo}^{a C} {gramo}^{b d} .

$R=R_{ac}g^{ac}=R_{abcd}g^{ac}g^{bd}.$ Las antisimetrías de

R

$R$ implicar

R_{a b C d} ({gramo}^{a C} {gramo}^{b d} + {gramo}^{a d} {gramo}^{b C}) = 0, R = R_{a b C d} ((1 - k) {gramo}^{a C} {gramo}^{b d} - k {gramo}^{a d} {gramo}^{b C})

$R_{abcd}\left( g^{ac}g^{bd}+g^{ad}g^{bc} \right) = 0,\, R=R_{abcd}\left( \left( 1-k\right) g^{ac}g^{bd}-k g^{ad}g^{bc}\right)$ para cualquier constante

k

$k$ . Desde

\frac{\partial R}{\partial R_{a b c d}}

$\dfrac{\partial R}{\partial R_{abcd}}$ debe ser antisimétrica al intercambiar

a

$a$ con

b

$b$ o

c

$c$ con

d

$d$ , es el coeficiente obtenido al elegir

k

$k$ de modo que

1 - k = k

$1-k=k$ , es decir

k = \frac{1}{2}

$k=\frac{1}{2}$ . Por eso

\frac{\partial R}{R_{a b C d}} = \frac{1}{2} ({gramo}^{a C} {gramo}^{b d} - {gramo}^{a d} {gramo}^{b C}) .

$\frac{\partial R}{R_{abcd}}=\frac{1}{2}\left( g^{ac}g^{bd}-g^{ad}g^{bc}\right).$ Nota la

a b c d \to c d a b

$abcd\to cdab$ simetría.

¡gracias!, noté que el argumento simétrico funciona para la variación de $R$ , pero que tal $R_{ab} R^{ab}$ caso?, lo hare como otro post.
@phy_math Sugerencia: si $X_{ab}^{cdef}:=\dfrac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}$ entonces $\dfrac{\partial \left( R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=2R^{ab}X_{ab}^{cdef}$ .
con tu comentario hice una publicación en physics.stackexchange.com/questions/301787/… , todavía me confunde un poco para hacer términos simetrizados anti-simetrizados para ciertos pares.
simetrías: $R_{xy}=-R_{yx}$ , $\;\;\langle R_{xy}v,w\rangle=-\langle R_{xy}w,v\rangle$ , $\;\;R_{xy}z+R_{yz}x+R_{zx}y$ , $\;\;\langle R_{xy}v,w\rangle=\langle R_{vw}x,y\rangle\;\;$ donde todos los vectores son elementos de $T_{p}M$ .

Variación con respecto a RabcdRabcdR_{abcd}? Cómo calcular∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\parcial R}{\parcial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

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JG

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Cineed Simson

Variación de término como ∂RabRab∂Rabcd∂RabRab∂Rabcd\frac{\parcial R_{ab} R^{ab}}{\parcial R_{abcd}}, ∂RabcdRabcd∂Refgh∂RabcdRabcd∂Refgh\frac{\parcial R_ {abcd} R^{abcd}}{\parcial R_{efgh}}

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