¿Por qué no se tiene en cuenta el campo eléctrico debido a cargas externas al calcular el campo "total" en algunos problemas de la ley de Gauss?

Question

¿Por qué no se tiene en cuenta el campo eléctrico debido a cargas externas al calcular el campo "total" en algunos problemas de la ley de Gauss?

Paciente con accidente cerebrovascular

En la imagen de arriba hay dos cargas puntuales $q_1$ y $q_2$ . $S_1$ y $S_2$ son superficies gaussianas centradas alrededor $q_1$ y $q_2$ respectivamente. Si quiero encontrar el campo eléctrico en P, entonces tengo que aplicar la ley de Gauss a ambas superficies gaussianas. $S_1$ y $S_2$ . En otras palabras, las cargas externas pueden causar que haya un campo eléctrico en P aunque el flujo debido a las cargas externas sea cero en esa superficie.

Pero cuando calculamos el campo dentro de una esfera con carga uniforme, ignoramos por completo las cargas externas (fuera de la superficie gaussiana pero aún dentro de la esfera). Sé que se debe al teorema de la capa de Newton, pero los libros de E&M no mencionan esto. Simplemente van con la ley de Gauss.

Considere el ejemplo-4 en el capítulo 2 en Introducción a la electrodinámica por Griffiths

El enunciado del problema es el siguiente:

Un cilindro largo (Fig. 21) lleva una densidad de carga que es proporcional a la distancia desde el eje $\rho = ks$ , para alguna constante k. Encuentre el campo eléctrico dentro del cilindro.

En la solución del problema, encuentra el campo de una superficie cilíndrica gaussiana en un cilindro coaxial más grande usando un teorema de gauss. Se dice que este campo es el campo eléctrico dentro del cilindro, pero el teorema de Gauss realmente no considera el campo debido a las cargas entre el cilindro gaussiano y el cilindro exterior. Por lo tanto, no debe ser el campo 'total' que hemos encontrado. Entonces, mi pregunta es ¿qué quiere decir exactamente Griffith cuando dice 'el campo eléctrico' ?

Editar: supongamos que apliqué la ley de Gauss en la superficie $S_1$ . Si el campo debido a $q_1$ y $q_2$ son $E_1$ y $E_2$ , entonces

\oint mi \cdot d a = \frac{q_{1}}{ϵ_{0}}

$\oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{da} = \frac{q_1}{\epsilon_0}$

\oint {mi}_{1} \cdot d a + \oint {mi}_{2} \cdot d a = \frac{q_{1}}{ϵ_{0}}

$\oint \mathbf{E_1} \cdot \mathbf{da} + \oint \mathbf{E_2} \cdot \mathbf{da} = \frac{q_1}{\epsilon_0}$ La segunda integral se anula y así obtengo

{mi}_{1} \oint d a = \frac{q_{1}}{ϵ_{0}}

$E_1 \oint da = \frac{q_1}{\epsilon_0}$ Lo que obtengo es la magnitud del campo eléctrico debido a la carga encerrada, pero ese no es el campo eléctrico total en P. El campo eléctrico total en P tiene una magnitud

| E_{1} + E_{2} |

$|\mathbf{E_1} + \mathbf{E_2}|$ .

Puedo usar el mismo argumento para el ejemplo de Griffith. Si $\mathbf{E_i}$ y $\mathbf{E_o}$ se deben a las cargas internas y externas, entonces lo que Griffith resolvió es la magnitud de $\mathbf{E_i}$ porque

{mi}_{i} \oint d a + \oint {mi}_{o} \cdot d a ( = 0) = \frac{\int ρ d V}{ϵ_{0}}

$E_i \oint da + \oint \mathbf{E_o} \cdot \mathbf{da}\text{ ( = 0) } = \frac{\int \rho dV }{\epsilon_0}$ me daría el mismo valor de campo eléctrico que obtuvo Griffiths. Pero ese no es el campo eléctrico neto en ese punto. La magnitud del campo eléctrico neto en ese punto es

| E_{i} + E_{o} |

$|\mathbf{E_i} + \mathbf{E_o}|$ . Pero en problemas como este, el campo que obtenemos de la ley de Gauss se denomina simplemente campo eléctrico como si fuera el campo eléctrico neto. La única forma en que el campo eléctrico en ese punto es si las contribuciones de las cargas externas se cancelan. Eso sería cierto para algo con simetría esférica debido al teorema de la capa de Newton, pero ¿cómo sería eso cierto para algo con simetría cilíndrica como en el ejemplo de Griffiths?

Respuestas (3)

¿Por qué no se tiene en cuenta el campo eléctrico debido a cargas externas al calcular el campo "total" en algunos problemas de la ley de Gauss?

Andrés Steane · Answer 1

Empecemos por la ecuación de Maxwell

\nabla \cdot mi = \frac{ρ}{ϵ_{0}}

$\nabla \cdot {\bf E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ Aquí a la izquierda está la divergencia del campo eléctrico total en algún punto. A la derecha está la densidad de carga en ese punto. El campo de la izquierda se debe a todas las cargas del universo. Su divergencia solo depende de la densidad de carga local.

Ahora integre sobre el volumen y aplique el teorema de la divergencia de Gauss:

\oint mi \cdot d S = \frac{q}{ϵ_{0}}

$\oint {\bf E} \cdot d{\bf S} = \frac{Q}{\epsilon_0}$ el campo de la izquierda sigue siendo el campo total en cada punto, producido por toda la carga del universo. A la derecha tenemos la carga total

Q

$Q$ dentro de la región de integración.

Ahora podemos notar que el campo total se puede expresar como la suma del campo debido a la carga dentro de la región y el campo debido a la carga fuera de la región:

mi = {mi}_{i} + {mi}_{o}

${\bf E} = {\bf E}_i + {\bf E}_o$ entonces

\oint ({mi}_{i} + {mi}_{o}) \cdot d S = \frac{q}{ϵ_{0}}

$\oint ({\bf E}_i + {\bf E}_o) \cdot d{\bf S} = \frac{Q}{\epsilon_0}$ pero el campo

E_{o}

${\bf E}_o$ es, por definición, cuál sería el campo total si la carga dentro de la región no estuviera allí, y solo tuviéramos todas las demás cargas en el universo. Aplicando la ecuación de Maxwell a ese caso debemos encontrar

\oint {mi}_{o} \cdot d S = 0

$\oint {\bf E}_o \cdot d {\bf S} = 0$ y por lo tanto

\oint {mi}_{i} \cdot d S = \frac{q}{ϵ_{0}}

$\oint {\bf E}_i \cdot d{\bf S} = \frac{Q}{\epsilon_0}$ Como puede ver, podemos considerar que el campo dentro de la integral es el campo total o la parte del campo total que se debe a la carga encerrada.

Eso responde a su pregunta, pero también agregaré un comentario para mostrar por qué es importante conocer esta respuesta completa. Se trata de cómo uno hace la integración e interpreta el resultado. Si aplicamos el método a una placa en un capacitor, encontraremos que el flujo total que sale de una superficie de la placa es $Q/\epsilon_0$ dónde $Q$ es la carga en la placa. Entonces surge la pregunta de cómo se divide este flujo entre los dos lados de la placa, y si lo que queremos saber es solo ${\bf E}_i$ o el campo total ${\bf E}$ . Por lo general, queremos saber ${\bf E}$ . Para un condensador ordinario de placas paralelas, la respuesta es cero en un lado y $Q/A\epsilon_0$ por el otro, pero para una sola superficie plana de carga en un espacio vacío, la respuesta es $Q/2A\epsilon_0$ en cada lado. Para hacerlo bien, es importante entender el punto de partida de todo esto, donde es el campo total el que aparece en la ecuación de Maxwell, no solo el campo debido a un grupo particular de cargas. En el ejemplo del condensador, el campo total es el resultado neto de las cargas en ambas placas, no solo las que están dentro de la integral sobre una placa.

En el ejemplo de tu capacitor, supón que todas las cargas en el capacitor se mantienen fijas, de modo que cualquier carga nueva no cambie su distribución. Ahora supongamos que traigo un cargo $q$ justo fuera de su superficie gaussiana alrededor de la placa del condensador. Ahora el cargo $q$ no está encerrado por la superficie, por lo que si calcula el campo E usando la ley de Gauss, obtendrá $Q/A \epsilon_0$ en un lado. Pero ese no es el campo total en ese punto.
Lo que estoy tratando de decir es que cuando tiramos de la $\mathbf{E}$ fuera de la integral cuando se resuelven los problemas de la ley de Gauss, es solo el campo debido a las cargas internas, nunca el campo total porque el campo total no necesita ser constante sobre la superficie. Y lo que resolvemos es el $\mathbf{E}$ nos salimos de la integral después de todo, así que estamos resolviendo el campo debido a las cargas internas. No es el campo total en el límite.
¿Cómo explica esto el punto de lo que Griffith quiso decir con el campo eléctrico?
@BrainStrokePatient Los pasos matemáticos en mi respuesta son todos correctos. El problema es que no debes tirar $\bf E$ fuera de la integral a menos que tenga una buena razón para saber que ${\bf E} \cdot d{\bf S}$ sobre la superficie en cuestión. Si no es constante, la integral es más difícil de hacer y, de hecho, no se puede hacer en general a menos que haya otra información. Es la simetría la que produce esa otra información en los casos más simples.
Sí, estoy de acuerdo con los pasos matemáticos en tu respuesta y con lo que dijiste. Pero no creo que realmente respondan a mi pregunta. Edité mi pregunta un poco para que quede más claro lo que estoy preguntando.
@BrainStrokePatient con respecto a una carga llevada a un capacitor, eso es suficiente para romper la simetría traslacional para que la integral ya no sea $E_1 A + E_2 A$ dónde $E_1$ y $E_2$ refiérase al componente que va hacia afuera en los dos lados de la placa.
@BrainStrokePatient Acabo de ver tu edición; Creo que mis dos últimos comentarios deberían ayudar. Si encuentra que ayudan, lo agregaré a mi respuesta. El punto matemático es que en la integración en general no podemos decir $\int f dx = f \int dx$ a menos que sepamos $f$ ser constante en la región de integración.
No sigo del todo. ¿No puedo simplemente usar la superposición para sumar la contribución de la placa del capacitor y la carga por separado? ¿Y las contribuciones de la carga se desvanecerían porque está fuera de la superficie gaussiana? ¿Mientras que el término de la placa del condensador sigue siendo el mismo porque las cargas se mantienen fijas?
Ok, déjame responder la última parte de la pregunta editada. Es que el campo de la carga exterior en el ejemplo cilíndrico es de hecho cero. Puede deducir esto usando la ley de Gauss e invocando la simetría cilíndrica, en la que también tiene que argumentar por qué no hay componente azimutal o $z$ componente. En su comentario final sobre el capacitor, no estoy seguro si está permitiendo que la carga en las placas del capacitor se mueva en la placa, como lo haría en un conductor.

Rishab Navaniet · Answer 2

La ley de Gauss (si corresponde) encuentra el campo eléctrico total .

$*$ Pero tenga en cuenta que la forma integral de la ley de Gauss no se puede aplicar a la primera pregunta.

El paso en la ley de Gauss $\int \vec{E} \cdot \vec {ds} =E \int \vec{ds}$ solo se puede hacer si el campo es simétrico y tiene un valor constante sobre la superficie. Esto es cierto para esferas y cilindros con distribución de carga uniforme , pero cuando se mantienen dos esferas como se muestra, el campo podría complicarse. Encontrar una superficie con el mismo valor para $E$ sería difícil Tiene razón al decir que las cargas externas están produciendo un campo interno para una distribución general (asimétrica). Pero en los casos en que las cargas se distribuyen simétricamente, el campo eléctrico neto de todas las cargas externas se anula. El teorema de la capa de Newton es un ejemplo de tal distribución de masa simétrica.

Para algunos ejemplos: Cualquier distribución de carga que sea una función de $r$ solo, $\rho(r)$ puede imaginarse que se debe a capas esféricas concéntricas, cada una de las cuales tiene un campo eléctrico en el interior igual a cero. Así sucede con círculos y cilindros.

Entonces, para la pregunta de Griffiths, el campo es simétrico, por lo que se puede aplicar la ley de Gauss, y también, ningún campo eléctrico del exterior está presente en el interior debido a la simetría. Entonces el campo eléctrico obtenido es el campo eléctrico neto.

Para la primera pregunta formulada, los cargos $q_1$ y $q_2$ juntos producen un campo eléctrico complicado, para el cual sería difícil encontrar una superficie gaussiana. Pero podríamos usar el teorema de superposición de los campos eléctricos: el campo eléctrico neto en cualquier punto es la suma vectorial de los campos debido a todas las cargas individuales consideradas por separado. (como si otros cargos estuvieran ausentes).

Entonces podríamos encontrar el campo eléctrico en $P$ debido a $q_1$ y $q_2$ solos y sumarlos para obtener el campo eléctrico neto.

$*$ Tenga en cuenta que aunque la ley de Gauss no siempre puede encontrar campos eléctricos, la ley siempre es verdadera. El flujo neto a través de cualquier superficie debido a cargas externas es cero. la simetría es necesaria solo cuando tenemos que encontrar el campo eléctrico.

Su respuesta es lo que también había pensado, pero realmente no capta el corazón de lo que OP realmente está preguntando.
"cuando dos esferas se mantienen como se muestra". Lo siento si mi explicación no fue clara, el inglés no es mi primer idioma. $S_1$ y $S_2$ no son esferas, son superficies gaussianas (imaginarias) alrededor de cargas puntuales $q_1$ y $q_2$ respectivamente.
Lo siento, fue una mala interpretación. He editado la respuesta.
Tengo problemas con su declaración de que la ley de Gauss siempre encuentra el campo eléctrico neto. Si $\mathbf{E_1}$ y $\mathbf{E_2}$ son los campos eléctricos debidos a $q_1$ y $q_2$ , entonces es cierto que $\mathbf{E} = \mathbf{E_1} + \mathbf{E_2}$ no es constante sobre la superficie de, digamos $S_1$ . Pero siempre puedo escribir $\int_{S_1} \mathbf{E} \dot \mathbf{da}$ como $\int\mathbf{E_1} \dot \mathbf{da} + \int_{S_1} \mathbf{E_2} \dot \mathbf{da}$ y observe que la segunda integral se anula para que pueda tirar $\mathbf{E_1}$ fuera de la integral. Encuentro $E_1$ en P pero el campo neto es $E_1 + E_2$ en p
@BrainStrokePatient Creo que deberías agregar este punto específico en la respuesta para que la gente sepa que ya obtuviste ese punto
@BrainStrokePatient el punto de la respuesta es que lo que entra en la ley de Gauss es el campo total. El problema es que la ley de Gauss en realidad es una fórmula para la carga encerrada por una superficie. No es trivial invertir eso para el campo en la superficie y no siempre es posible.
@BrainStrokePatient: tiene toda la razón hasta la desaparición de $\int_{S_1}{\vec{E_2}\cdot ds}$ . Pero, ¿cómo podemos encontrar $\vec E_1$ de la izquierda sobre la integral? No podemos continuar de ahí en adelante porque no puedes tomar $E_1$ fuera de la integral.
@RishabNavaneet Pero no lo es $\mathbf{E_1}$ constante sobre $S_1$ ? Entonces, ¿por qué no podemos sacarlo de la integral?
Ahora entiendo tu punto. Ahora me doy cuenta de que cometí un error... Déjame pensarlo y editaré mi respuesta. Pero para corregirte un poco, creo que en el caso de los griffiths, no es solo $\int{E_o \cdot da}$ eso es cero pero $E_o$ en sí mismo es cero debido al argumento del cilindro concéntrico mencionado.

Paciente con accidente cerebrovascular · Answer 3

Todos, gracias por tratar de ayudarme hoy. Creo que finalmente entiendo lo que está pasando. Como sospechaba, me faltaba un argumento de simetría. Trataré de ilustrar lo que quiero decir con un ejemplo.

Supongamos que quiero encontrar el campo dentro de una esfera de radio $R$ con densidad de carga $\rho (r)$ . Entonces tomo la superficie gaussiana como una esfera de radio $r_0 < R$ . Ahora, en la superficie de la esfera gaussiana, sé con certeza que el campo eléctrico total debe ser radial. Por la simetría del problema. Todo se ve igual cuando giro la esfera, por lo que las líneas de campo también tienen que verse igual. Como el campo eléctrico total es radial y constante en la superficie de la esfera, puedo sacarlo de la integral. Entonces puedo decir

({mi}_{i} + {mi}_{o}) \oint d a = \frac{q_{mi norte C}}{ϵ_{0}}

$(E_i + E_o) \oint da = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$

{mi}_{i} + {mi}_{o} = \frac{q_{mi norte C}}{ϵ_{0} \oint d a}

$E_i + E_o = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0 \oint da}$ Por otro lado también sé que

\oint E_{o} \cdot d a = 0

$\oint \mathbf{E_o} \cdot \mathbf{da} = 0$ de donde se sigue

{mi}_{i} \oint d a + \oint {mi}_{o} \cdot d a = \frac{q_{mi norte C}}{ϵ_{0}}

$E_i \oint da + \oint \mathbf{E_o} \cdot \mathbf{da} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$

{mi}_{i} = \frac{q_{mi norte C}}{ϵ_{0} \oint d a}

$E_i = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0 \oint da}$ La única forma en que ambas ecuaciones son verdaderas es si (restando una de la otra)

E_{0} = 0

$\mathbf{E_0}=0$ . En otras palabras, cuando la simetría nos permite extraer todo el campo eléctrico de la integral, la contribución de las cargas externas es cero. El campo eléctrico neto es el campo debido únicamente a las cargas encerradas, en tales casos. No necesito el teorema de la cáscara de Newton ni nada por el estilo para saber de antemano que la contribución al campo de las cargas externas se cancela. ¡La simetría del problema ya me lo dice!

El ejemplo de Griffith fue uno de esos casos. Bajo la rotación sobre el eje cilíndrico, todo parecía igual, por lo que el campo eléctrico total debe estar en la dirección radial (radial al eje cilíndrico) y constante sobre una superficie cilíndrica gaussiana. Mi primer ejemplo no fue tal caso porque el campo eléctrico total no era constante durante $S_1$ y, por lo tanto, las cargas externas terminaron contribuyendo al campo eléctrico total en P.

Realmente no encontré esta respuesta convincente ... ¿qué razón intuitiva no produce esa carga intersticial (btwn gauss srfc y cilindro) un campo cero?
Me expandí un poco en las matemáticas. ¿Eso lo hace lo suficientemente convincente?
No, esta respuesta aún no es precisa, puedo explicar usando el ejemplo con esferas que diste en la publicación. Puede usar el mismo argumento para el caso de la esfera en cuestión que dio. El flujo debido a la carga fuera de la esfera es cero, por lo tanto, aún podemos derivar el campo de una carga usando la ley de Gauss mientras la otra está presente.
Hay un espacio de separación entre el borde exterior del cilindro sólido y el cilindro gaussiano en su interior. En este espacio de separación, hay una carga que debe causar algún campo eléctrico en el cilindro interior. Esta respuesta no es realmente precisa y creo que es solo un desvío para pensar realmente en el asunto.
Realmente estoy interesado en obtener una respuesta clara a esta pregunta y la recompensaré cuando pueda.
@Buraian Pero ya hablé tanto de la esfera como del cilindro en mi último párrafo. El flujo debido a las cargas externas siempre es cero. Eso no hace que el campo E debido a cargos externos sea cero. Solo cuando el campo E debido a las cargas externas también es uniforme en la superficie gaussiana, se sigue matemáticamente que es cero
"Solo cuando el campo E debido a cargas externas también es uniforme en la superficie gaussiana, se sigue matemáticamente que es cero" No estoy seguro de esta afirmación, me gustaría una cita/referencia para ello
Pero acabo de dar una prueba. ¿Crees que hice alguna suposición implícita allí que no completa la prueba?
La declaración de simetría en sí misma fue un gran salto.
Por lo que entiendo de electrostática, hay dos cosas que determinan completamente las líneas de campo eléctrico tanto dentro como fuera de la distribución de carga de la fuente: (1) la distribución de carga (2) la forma de la distribución de carga. Para el cilindro, si giro sobre el eje cilíndrico, ambos se conservan en el sentido de que si cierro los ojos y giras el cilindro, no puedo decir si lo giraste. Entonces, si calculo el campo eléctrico a partir de la antigua ley de Coulomb e integro, debería obtener el mismo resultado. Esto es cierto tanto para el exterior como para el interior del cilindro.
Si no cambia bajo una rotación, entonces el campo no puede depender de la coordenada angular. Las únicas coordenadas restantes son la coordenada radial del eje y la coordenada z (el eje z es el eje cilíndrico). Pero el campo eléctrico no puede tener una componente z porque las distribuciones a la derecha ya la izquierda son exactamente idénticas. La fuerza de un lado cancela el otro lado. La única coordenada que queda es la coordenada radial. Esto debería ser cierto para el campo eléctrico neto independientemente de la existencia de cualquier superficie gaussiana. Realmente no encuentro ningún agujero en el argumento.
Dado que el campo solo depende de la coordenada radial, debe ser constante sobre una superficie de radio constante, como la superficie gaussiana que tomó Griffiths. Si el campo total es constante en la superficie gaussiana y el campo debido a las cargas encerradas también es constante en la superficie gaussiana, entonces su diferencia, que es el campo debido a las cargas externas, también debe ser constante en la superficie gaussiana.
Creo que entiendo lo que quieres decir, pero en realidad es la primera vez que lo pienso de esta manera... Me tomará un tiempo cambiar mis creencias, creo, jaja.

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