Duda en la Derivada Funcional del Lagrangiano

Conferencia XXXIII: Formulación lagrangiana de GR por Christopher M. Hirata

POLVO QUE NO INTERACCIONA

Considere un sistema con un conjunto de partículas {A} cada una de masa$\mu_{A}$siguiendo un conjunto de trayectorias$x^{\mu}(\sigma|A)$donde es un índice de partículas y$\sigma$es una coordenada en la recta universal. La acción para tales partículas es:

$$S = \sum_{A} \mu_{A} \int d\tau = -\sum_{A} \mu_{A} \int\sqrt{-g_{\mu\nu}\dfrac{dx^{\mu}}{d\sigma}\dfrac{dx^{\nu}}{d\sigma}}d\sigma.\tag{28}$$

$$\delta S = \dfrac{1}{2}\sum_{A}\mu_{A}\int u^{\mu}u^{\nu}\delta g_{\mu\nu}d\tau.\tag{29}$$

Por lo tanto la derivada funcional es:

$$\dfrac{\delta S_{matter}}{\delta g_{\mu \nu}(y^{\alpha})}=\dfrac{1}{2}\sum_{A}\mu_{A} \int u^{\mu}u^{\nu} \delta^{(4)}[y^{\alpha}-x^{\alpha}(\tau|A)]d\tau\tag{30}$$

$\delta^{(4)}$es el$4$Función delta D.

MI PREGUNTA

Estaba revisando el PDF (adjunto en la parte superior también) sobre la derivación del tensor de energía de estrés de las acciones. me encontré con las ecuaciones$(29)$y$(30)$. ¿Puede alguien proporcionar ayuda sobre la intuición o el proceso de cómo$(30)$se deriva de$(29)$? Sinceramente, no tengo ni idea aquí.

Arriba están las ecuaciones$(28)$,$(29)$y$(30)$del PDF.