Dos "observadores de Robertson-Walker", ¿velocidad de la pelota de béisbol vista por el segundo observador justo antes de atraparla?

A lo largo de la pregunta usaré$p(T_1)$y$p(T_2)$para denotar el impulso 4 de la pelota de béisbol a veces$T_1$y$T_2$,$\mathbf{v}_1$y$\mathbf{v}_2$para representar el componente espacial de su velocidad física, y$a(T_1)$y$a(T_2)$para representar el factor de escala del Universo en estos tiempos.

La homogeneidad y la isotropía del Universo significan que no importa en qué dirección lance la pelota de béisbol un observador comóvil , seguirá una geodésica en el espacio-tiempo FRW, que es una trayectoria 'radial' en el sentido de que

$$\begin{equation} ds^2 = -dT^2 + a^2(T) \: d\chi^2, \end{equation}$$

y

$$\begin{equation} \dot{p}_{\chi} = 0, \end{equation}$$

dónde$\chi$es la coordenada radial FRW tal que$d\chi = dr/\sqrt{1-Kr^2}$para curvatura commovible$K$, y$p_{\chi}$es el componente del impulso 4 del béisbol en esta dirección. El punto denota la derivada respecto al tiempo propio.

Matemáticamente, esta condición en$p_{\chi}$se puede ver bajando los índices en la ecuación geodésica$\dot{p}^a+\Gamma^a_{bc}p^bp^c=0$y reetiquetar índices ficticios para obtener

$$\begin{equation} \dot{p}_a = \frac{1}{2}(\partial_a g_{bc})p^bp^c. \end{equation}$$

Dado que la métrica aquí es independiente de$\chi$, vemos eso$p_{\chi}$es constante a lo largo de la geodésica.

Intuitivamente, dado que el Universo se está expandiendo alejándose de cada punto, se está expandiendo alejándose del observador 1 en todas las direcciones, por lo que todas las direcciones corresponden a tiros a lo largo de una trayectoria radial.

Con este conocimiento, queremos formular el problema en términos de componentes covariantes de la cantidad de movimiento, por lo que usaremos el elemento lineal apropiado para una pelota de béisbol enorme,

$$\begin{equation} g^{\mu \nu}p_{\mu} p_{\nu} = -m^2 = -p_T^2(T_1) + \frac{1}{a^2(T_1)} p_{\chi}^2 \end{equation}$$ $$\begin{equation} -m^2 = -p_T^2(T_2) + \frac{1}{a^2(T_2)} p_{\chi}^2. \end{equation}$$

La masa no es de baja velocidad, por lo que usar la condición de capa de masa relativista especial$E^2 = m^2+|\mathbf{p}|^2$, obtenemos

$$\begin{equation} m^2 = p_T^2(T_1) - |\mathbf{p_1}^2| \end{equation}$$

$$\begin{equation} m^2 = p_T^2(T_2) - |\mathbf{p_2}^2|. \end{equation}$$

Sustituyendo estos$m^2$en el elemento de línea, cancelando el$p_T^2$y tomando la razón de las dos ecuaciones entonces da

$$\begin{equation} \frac{|\mathbf{p_2}^2|}{|\mathbf{p_1}^2|} = \frac{a^2(T_1) p_{\chi}(T_2)}{a^2(T_2) p_{\chi}(T_1)}. \end{equation}$$

Pero como se discutió anteriormente, la$p_{\chi}$se conservan a lo largo de la geodésica, por lo que se anulan! Finalmente, dado que la masa se conserva, podemos escribir los momentos espaciales en términos de las velocidades espaciales como

$$\begin{equation} \frac{\gamma_1 |\mathbf{v}_1|}{\gamma_2 |\mathbf{v}_2|} = \frac{a(T_2)}{a(T_1)}. \end{equation}$$

Esto da$|\mathbf{v}_2|$en términos de$|\mathbf{v}_1|$según sea necesario.

Esta imagen del Universo dividido en el tiempo debería ayudar a visualizar la situación. Las líneas rojas son los observadores comóviles, la línea azul es la trayectoria de la pelota de béisbol y las flechas negras son los componentes espaciales de la velocidad de la pelota de béisbol a veces.$T_1$y$T_2$.