Dos expresiones para la integral del número de devanado instantáneo

Question

Dos expresiones para la integral del número de devanado instantáneo

Física
topología
instantes
yang-mills

Nombre AAAA

Supongamos que el número de bobinado $n$ de la configuración instanton de Yang-Mills. Está dada por la expresión

\begin{matrix} (1) & norte = \frac{1}{dieciséis π^{2}} \int_{S^{4}} d^{4} X tr [F_{i j} {\tilde{F}}^{i j}], \end{matrix}

$\tag 1 n = \frac{1}{16\pi^2}\int \limits_{S^4} d^{4}x\text{tr}\big[F_{ij}\tilde{F}^{ij}\big],$ donde la integración es sobre 4 esferas

S^{4}

$S^4$ . He conocido dos enfoques diferentes de cálculo del lado derecho de

(1)

$(1)$ .

Enfoque 1: la función de transición

La esfera $S^4$ se divide en dos semiesferas $H^+, H^-$ , cuyas variedades son

\partial H^{+} = S^{3}, \partial H^{-} = - S^{3}

$\partial H^+ = S^3, \ \partial H^- = -S^3$ A continuación, usemos la identidad.

F \tilde{F} = d K

$F\tilde{F} = dK$ en cada semiesfera. Tenemos parches de paquetes locales definidos

H^{+} \times S tu (norte), H^{-} \times S tu (norte) con coordenadas {X, F_{+}}, {X, F_{-}}

$H^{+}\times SU(n), \ H^{-}\times SU(n) \ \ \text{with coordinates} \ \ \{x,f_{+}\},\{x,f_-\}$ A lo largo de la intersección ecuatorial

H^{+} \cap H^{-} = S^{3}

$H^{+}\cap H^{-}= S^3$ las coordenadas

f_{\pm}

$f_{\pm}$ están relacionados por la función de transición

g_{- +}

$g_{-+}$

F_{+} = {gramo}_{- +} F_{-}

$f_+ = g_{-+} f_-$ Usando el formalismo anterior, la integral

(1)

$(1)$ se puede reescribir en la forma

\begin{matrix} (2) & norte = \int_{H^{+}} d k_{+} + \int_{H^{-}} d k_{-} = \int_{S^{3}} tr [({gramo}_{- +} \partial {gramo}_{- +}^{- 1})^{3}] \end{matrix}

$\tag 2 n = \int \limits_{H^+}dK_{+} + \int \limits_{H^-}dK_{-} = \int \limits_{S^3}\text{tr}\big[(g_{-+}\partial g_{-+}^{-1})^3\big]$

Enfoque 2: el indicador $A_0 = 0$

Uno puede arreglar el calibre $A_0 = 0$ . Luego en infinidades $t\to \pm \infty$ el 4-potencial $A_i$ tiende al calibre puro

A_{i} (X, t \to \pm \infty) = {gramo}_{\pm} \partial_{i} {gramo}_{\pm}^{- 1},

$A_{i}(\mathbf x , t \to \pm \infty) = g_{\pm}\partial_i {g}_{\pm}^{-1},$ y en los límites espaciales

A_{i} (x \to \infty, t) = 0

$A_{i}(\mathbf x \to \infty, t) = 0$ . Entonces (ver la sección de comentarios)

\begin{matrix} (3) & norte = \int d σ_{m} k^{m} = \int_{S^{3}} tr [({gramo}_{+} \partial {gramo}_{+}^{- 1})^{3}] - \int_{S^{3}} tr [({gramo}_{-} \partial {gramo}_{-}^{- 1})^{3}] \end{matrix}

$\tag 3 n = \int d\sigma_{\mu}K^{\mu} = \int\limits_{S^3}\text{tr}\big[(g_{+}\partial g^{-1}_{+})^{3}\big] - \int\limits_{S^3}\text{tr}\big[(g_{-}\partial g^{-1}_{-})^{3}\big]$

La pregunta. ¿Cómo se relacionan estos enfoques entre sí? Precisamente, parece que $(2)$ se obtiene de forma independiente de la fijación del calibre, mientras que $(3)$ se obtiene en el calibre fijo. Por lo tanto, es $(2)$ reducido a $(3)$ en el calibre temporal $A_{0} = 0$ ? ¿O estas expresiones no son equivalentes?

una mente curiosa

El segundo enfoque es formalmente muy poco claro. En

S^{4}

$S^4$ , ¿qué quiere decir exactamente con "en

t \to \pm \infty

$t\to\pm\infty$ " o "en

x \to \infty

$\mathbf{x}\to\infty$ "? Además, ¿olvidaste los exponentes ³ en la ecuación (3)? ¿Cuál es la integral de

K

$K$ en el segundo término de la ec. (3) ¿cómo se obtiene la expresión final? ¿Dónde encontraste este enfoque?

Nombre AAAA

@ACuriousMind: Parece que no entiendo la derivación de

(3)

$(3)$ de manera clara. En primer lugar, parece que me equivoco al afirmar que se obtiene en el compactado

R^{4} \to S^{4}

$R^4 \to S^{4}$ espacio. Tal vez las hipersuperficies

σ_{μ}

$\sigma_{\mu}$ son superficies tridimensionales en el espacio euclidiano finito (es decir, en la caja).

Nombre AAAA

@ACuriousMind: En segundo lugar, me olvidé del exponente en la ecuación.

(3)

$(3)$ . En tercer lugar, las fuentes de derivaciones representan heurísticamente el espacio-tiempo mediante un cilindro, cuyas tapas superior e inferior son hipersuperficies similares al tiempo de constante

t

$t$ , y las tapas laterales son hipersuperficies espaciales. La condición

A (r \to \infty) = 0

$A(\mathbf r \to \infty ) = 0$ significa que la integral

(3)

$(3)$ en hipersuperficies espaciales

σ_{i}, i \neq 0

$\sigma_{i}, i\neq 0$ es igual a cero, mientras que las integrales en dos hipersuperficies temporales con

t \to \pm \infty

$t\to \pm \infty$ dar los dos sumandos en

(3)

$(3)$ . Una de las fuentes donde vi este enfoque es QFT Vol. de Weinberg. 2 segundos. 23.5

Nombre AAAA

@ACuriousMind: Las hipersuperficies similares al tiempo son 3 esferas, ya que el campo indicador tiende a indicadores puros en él, y el elemento indicador

g \to 1

$g\to 1$ para

x \to \infty

$\mathbf x \to \infty$ .

una mente curiosa

¡Ajá! Ahora lo has dicho tú mismo: eq. (3) está en un cilindro

[- T, T] \times S^{3}

$[-T,T]\times S^3$ , no en las 4 esferas

S^{4}

$S^4$ . Esa es la razón por la que las dos ecuaciones son diferentes y por la que no pueden ser equivalentes.

Respuestas (1)

Dos expresiones para la integral del número de devanado instantáneo

El segundo enfoque es formalmente muy poco claro. En $S^4$ , ¿qué quiere decir exactamente con "en $t\to\pm\infty$ " o "en $\mathbf{x}\to\infty$ "? Además, ¿olvidaste los exponentes ³ en la ecuación (3)? ¿Cuál es la integral de $K$ en el segundo término de la ec. (3) ¿cómo se obtiene la expresión final? ¿Dónde encontraste este enfoque?
@ACuriousMind: Parece que no entiendo la derivación de $(3)$ de manera clara. En primer lugar, parece que me equivoco al afirmar que se obtiene en el compactado $R^4 \to S^{4}$ espacio. Tal vez las hipersuperficies $\sigma_{\mu}$ son superficies tridimensionales en el espacio euclidiano finito (es decir, en la caja).
@ACuriousMind: En segundo lugar, me olvidé del exponente en la ecuación. $(3)$ . En tercer lugar, las fuentes de derivaciones representan heurísticamente el espacio-tiempo mediante un cilindro, cuyas tapas superior e inferior son hipersuperficies similares al tiempo de constante $t$ , y las tapas laterales son hipersuperficies espaciales. La condición $A(\mathbf r \to \infty ) = 0$ significa que la integral $(3)$ en hipersuperficies espaciales $\sigma_{i}, i\neq 0$ es igual a cero, mientras que las integrales en dos hipersuperficies temporales con $t\to \pm \infty$ dar los dos sumandos en $(3)$ . Una de las fuentes donde vi este enfoque es QFT Vol. de Weinberg. 2 segundos. 23.5
@ACuriousMind: Las hipersuperficies similares al tiempo son 3 esferas, ya que el campo indicador tiende a indicadores puros en él, y el elemento indicador $g\to 1$ para $\mathbf x \to \infty$ .
¡Ajá! Ahora lo has dicho tú mismo: eq. (3) está en un cilindro $[-T,T]\times S^3$ , no en las 4 esferas $S^4$ . Esa es la razón por la que las dos ecuaciones son diferentes y por la que no pueden ser equivalentes.

una mente curiosa · Answer 1

Las expresiones ec. (2) y ec. (3) ambas son correctas, pero no equivalentes, porque se dan en contextos diferentes:

ecuación (2) es el número de bobinado en una esfera $S^4$ , es decir, la compactación en un punto del espacio de Minkowski $\mathbb{R}^{1,3}$ . El $g_{+-}$ es una función de transición correspondiente a la única elección necesaria para unir los potenciales de norma locales en los hemisferios a un potencial de norma global en $S^4$ . Cabe señalar que, técnicamente, la construcción del cociclo del paquete principal requeriría que la intersección de los hemisferios esté abierta en $S^4$ , es decir, tendrían que superponerse en un $S^3\times(-\epsilon,\epsilon)$ para $\epsilon > 0$ . ecuación (2) es lo que resulta en $\epsilon\to 0$ , momento en el que técnicamente ya no cumplimos las condiciones para la construcción del cociclo, pero el valor de $n$ permanece invariable porque su dependencia de $\epsilon$ es suave y $n$ toma solo valores discretos, por lo que es constante en $\epsilon$ .
Eq, (3) es el número de bobinado de una configuración de campo instantáneo en un cilindro $S^3\times[-T,T]$ para $T > 0$ . Aquí, $g_+$ y $g_-$ son funciones de medida tales que $A(\pm T) = g_\pm^{-1}\mathrm{d} g_\pm$ (nuevamente, al físico le gusta tomar el límite $T\to\infty$ ). La diferencia crucial es que el $g_\pm$ ahora no son funciones de transición, pero están relacionadas con el valor del potencial de calibre. Además, no necesitamos tomar el indicador temporal aquí, podemos obtener la ec. (3) sin ninguna fijación de calibre en absoluto:
$norte \propto \int_{S^{3} \times [- T, T]} F \land F = \int_{S^{3} \times [- T, T]} d k = \int_{S^{3} \times {- T}} k ({gramo}_{-}) - \int_{S^{3} \times {T}} k ({gramo}_{+})$ $n \propto \int_{S^3\times [-T,T]} F\wedge F = \int_{S^3\times [-T,T]} \mathrm{d}K = \int_{S^3\times\{-T\}}K(g_-) - \int_{S^3\times\{T\}}K(g_+)$ donde aparece el letrero porque el $S^n$ al final de un cilindro están orientados de manera opuesta y $K(g_\pm)$ denota la forma 3 de Chern-Simons para la configuración de campo de indicador respectiva $A_\pm$ .

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J H

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