¿Cómo puedo entender los instantones como poleas?

De acuerdo, no puedo darle una comprensión completa de lo que está sucediendo, pero puedo hacer que los objetos con los que estamos tratando sean más precisos:

Aquí hay dos espacios:

1. El espacio de módulos$M_\text{sh}(r,k)$de poleas coherentes libres de torsión enmarcadas de rango$r$y segunda clase de Chern$k$en el esquema proyectivo$\mathbb{P}^2$visto como un espacio analítico complejo con su estructura de funciones analíticas.

2. El espacio de módulos$M_\text{in}(r,k)$de paquetes instantáneos enmarcados de un grupo calibre de rango$r$y segunda clase de Chern$k$en la 4-esfera$S^4 = \mathbb{R}^4\cup\{\infty\}$, dónde$\infty$se añade para precisar la noción de encuadre.

Encuadrado en el primer caso significa que el haz está localmente libre en la línea del infinito, enmarcado en el segundo caso significa que la configuración del campo de calibre es calibre puro en el punto del infinito. Estos dos espacios no son lo mismo. En particular,$M_\text{sh}$no es singular mientras$M_\text{in}$es singular, y esta es precisamente la motivación para encontrar la siguiente equivalencia aparentemente probada por Donaldson:

El espacio de módulos de instantons enmarcados$M_\text{in}$está en biyección al subconjunto$M^\text{reg}_{0,\text{sh}}\subset M_\text{sh}$de poleas localmente libres .

Heurísticamente, no es difícil ver que un paquete vectorial define una gavilla. Dado un paquete$P\to X$, la gavilla correspondiente está definida por$U\mapsto \Gamma(U,P)$, es decir, la gavilla que acaba de asociar a cada conjunto abierto sus secciones locales. La prueba de la afirmación anterior, sin embargo, es mucho más complicada:$S^4$es solo el$\mathbb{R}^4\cong\mathbb{C}^2$con un punto en el infinito , pero$\mathbb{P}^2$es lo mismo con una línea * en el infinito. Tienes que demostrar que cada haz localmente libre en el último realmente define un paquete en el primero, y que los paquetes en el primero realmente dan un paquete adecuado en el último que también funciona bien con el paquete de estructura analítica. Por último, un paquete principal no es un paquete vectorial, y la prueba de la afirmación se basa en una prueba de que el instantón se empaqueta en$S^4$corresponden a paquetes de vectores holomorfos enmarcados en$\mathbb{P}^2$.

Ahora, dado el teorema de Donaldson, vemos por qué el paso de instantones a haces resuelve el problema de las singularidades: el espacio de todos los haces libres de torsión no es singular, por lo que se generaliza ligeramente la noción de instantón/haz localmente libre/vector holomorfo paquete al de la gavilla libre de torsión se deshace del problema.

La relación con los esquemas de Hilbert surge porque

La demostración de Donaldson está en

Donaldson, "Teoría de los invariantes instantáneos y geométricos" , Comm. Matemáticas. física 93 (1984)

y se basa en el trabajo previo de Atiyah y Ward.

Atiyah y Ward, "Instantones y geometría algebraica" , Comm. Matemáticas. física 55 (1977)

La última correspondencia se puede encontrar, por ejemplo, en

Nakajima, "Conferencias sobre esquemas de Hilbert de puntos en superficies" , AMS