¿Qué justifica compactar el espacio y el espaciotiempo, en el contexto de los instantones?

Question

¿Qué justifica compactar el espacio y el espaciotiempo, en el contexto de los instantones?

Física
topología
instantes
yang-mills
teoría de campo
teoría de calibre

knzhou

Al estudiar los instantenes de Yang-Mills, hay dos casos en los que uno compacta un espacio.

Al clasificar los estados de vacío, uno exige $A_\mu(\mathbf{x})$ convertirse en una constante como $\mathbf{x} \to \infty$ .
Al encontrar soluciones instantáneas, uno exige $A_\mu(x)$ convertirse en una constante como $x \to \infty$ .

Entonces podemos compactar el espacio y el espacio-tiempo para $S^3$ y $S^4$ respectivamente. Hasta transformaciones de pequeño calibre, encontramos que los estados de vacío se clasifican por $\pi_3(G)$ , mientras que los instantones se clasifican por topológicamente distintos $G$ -paquetes en $S^4$ , que también están indexados por $\pi_3(G)$ .

Estos supuestos son absolutamente cruciales para que funcionen los argumentos topológicos, pero no los he visto justificados. La mayoría de los libros de texto dicen que estas condiciones son necesarias para que las soluciones tengan energía finita y acción euclidiana finita, respectivamente, pero eso simplemente no es cierto. Por ejemplo, podría realizar una gran transformación de calibre en cualquier caso para dar $A_\mu$ cualquier dependencia que quiera en el infinito espacial o del espacio-tiempo, y esto no cambia la energía/acción, por invariancia de medida.

Tampoco he obtenido ninguna aclaración de fuentes matemáticamente rigurosas, porque tienden a compactar el espacio de forma inmediata, sin ninguna justificación física ni comentario. ¿Cuál es el verdadero argumento?

una mente curiosa

Las transformaciones de gran calibre son un tema plagado de trampas, cf. physics.stackexchange.com/q/314384/50583 , donde mi respuesta de pasada también analiza un argumento a favor del espaciotiempo compactado a partir de instantones.

knzhou

@ACuriousMind En realidad, ¡esa respuesta fue una de las "fuentes matemáticamente rigurosas" de las que estaba hablando! Por lo que puedo decir, pasas inmediatamente de

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ a

S^{4}

$S^4$ y argumentar que si no hiciéramos eso, las matemáticas serían aburridas, ya que todos los paquetes en

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ sería banal. Pero eso no me dice por qué, físicamente, uno debería usar

S^{4}

$S^4$ . Dado que la elección tiene consecuencias físicas, debe tener una justificación física.

una mente curiosa

Digo al final de la primera sección que los haces no triviales, es decir, los instantenes, son necesarios por sus contribuciones a efectos detectables como la anomalía axial. En

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ , no obtienes ningún efecto instantáneo.

knzhou

@ACuriousMind Quiero decir, acepto que los efectos instantáneos son reales y que obtendrías la respuesta incorrecta si usaras

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ , pero uno todavía tiene que justificar físicamente tomar

S^{4}

$S^4$ encima

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ . Por ejemplo, si está resolviendo las frecuencias armónicas de una cuerda cuyos extremos están unidos a las paredes, no puede simplemente decir "postulamos condiciones de contorno fijas, porque de lo contrario las frecuencias calculadas no coincidirían con el experimento". En cambio, justifica esas condiciones de contorno diciendo que los extremos se mantienen físicamente en su lugar.

una mente curiosa

No estoy de acuerdo con que uno tenga que "justificar físicamente" cualquier cosa más allá de "coincide con el experimento". Su analogía de la cuerda es engañosa porque hay una ontología clara de la "teoría de la cuerda" en el sentido de que corresponde claramente a la cuerda física, pero no existe una ontología tan clara e incontrovertible para la mecánica cuántica en general.

Respuestas (1)

¿Qué justifica compactar el espacio y el espaciotiempo, en el contexto de los instantones?

Las transformaciones de gran calibre son un tema plagado de trampas, cf. physics.stackexchange.com/q/314384/50583 , donde mi respuesta de pasada también analiza un argumento a favor del espaciotiempo compactado a partir de instantones.
@ACuriousMind En realidad, ¡esa respuesta fue una de las "fuentes matemáticamente rigurosas" de las que estaba hablando! Por lo que puedo decir, pasas inmediatamente de $\mathbb{R}^4$ a $S^4$ y argumentar que si no hiciéramos eso, las matemáticas serían aburridas, ya que todos los paquetes en $\mathbb{R}^4$ sería banal. Pero eso no me dice por qué, físicamente, uno debería usar $S^4$ . Dado que la elección tiene consecuencias físicas, debe tener una justificación física.
Digo al final de la primera sección que los haces no triviales, es decir, los instantenes, son necesarios por sus contribuciones a efectos detectables como la anomalía axial. En $\mathbb{R}^4$ , no obtienes ningún efecto instantáneo.
@ACuriousMind Quiero decir, acepto que los efectos instantáneos son reales y que obtendrías la respuesta incorrecta si usaras $\mathbb{R}^4$ , pero uno todavía tiene que justificar físicamente tomar $S^4$ encima $\mathbb{R}^4$ . Por ejemplo, si está resolviendo las frecuencias armónicas de una cuerda cuyos extremos están unidos a las paredes, no puede simplemente decir "postulamos condiciones de contorno fijas, porque de lo contrario las frecuencias calculadas no coincidirían con el experimento". En cambio, justifica esas condiciones de contorno diciendo que los extremos se mantienen físicamente en su lugar.
No estoy de acuerdo con que uno tenga que "justificar físicamente" cualquier cosa más allá de "coincide con el experimento". Su analogía de la cuerda es engañosa porque hay una ontología clara de la "teoría de la cuerda" en el sentido de que corresponde claramente a la cuerda física, pero no existe una ontología tan clara e incontrovertible para la mecánica cuántica en general.

David Bar Moshé · Answer 1

La justificación de la compactación a $S^3$ y $S^4$ es diferente.

En el primer caso (compactación del espacio), la compactación se puede explicar de la siguiente manera: (Esta es una explicación física plausible, no una prueba matemática completa).

Creemos que el modelo Skyrme explica el comportamiento de baja energía de QCD. Hay muchos resultados experimentales que respaldan esta suposición. En particular, este modelo es capaz de predecir ciertas propiedades incluso para bariones pesados dentro del 10 % de los valores experimentales. El número de Baryon en este modelo viene dado por:

B = \frac{1}{24 π^{2}} \int_{s pag a C mi} T r ({tu}^{- 1} d tu \land {tu}^{- 1} d tu \land {tu}^{- 1} d tu)

$B = \frac{1}{24\pi^2} \int_{\mathrm{space}}\mathrm{Tr} \left ( U^{-1}dU \wedge U^{-1}dU \wedge U^{-1}dU \right )$ Si el espacio es plano, el número bariónico de cualquier barión de masa finita se desvanece. Por lo tanto, el espacio plano no admite bariones. Por favor, observe que esta consecuencia es muy fuerte físicamente porque nos dice que el espacio-tiempo, que es una solución de las ecuaciones de campo de la gravitación de Einstein, debe ser compacto en las rebanadas espaciales.

En el caso del instantón, todavía podemos estar en un espacio-tiempo físico minkowskiano. Las soluciones en la firma euclidiana solo corresponden a eventos de tunelización en el tiempo del espacio físico. Este es el truco básico del uso de la firma euclidiana. Sucede que estas soluciones, si están restringidas a energía finita, deben desaparecer en el infinito euclidiano, describiendo así efectivamente soluciones en un espacio-tiempo euclidiano compactado, pero las amplitudes de estas soluciones corresponden a verdaderas amplitudes de efecto túnel en el espacio-tiempo físico minkowskiano.

Observaciones:

Matemáticos(1): Los matemáticos no tienen interés en una explicación física de por qué se compacta el espacio-tiempo. Eligen cualquier espacio-tiempo que se adapte al resultado matemático que necesitan. Así que no creo que puedas encontrar este tipo de explicaciones en trabajos matemáticamente rigurosos.

Matemáticos(2): Los matemáticos dedicados a la investigación de la teoría cuántica de campos utilizan maquinaria funcional qft (especialmente en tqft). De acuerdo con esta forma de pensar, una teoría cuántica de campos es simplemente una caja negra que acepta una variedad como entrada y devuelve un espacio de Hilbert en la salida, es decir, la misma teoría no está definida en una sola variedad de espacio-tiempo y puede ser utilizado simultáneamente en variedades compactas y no compactas con firmas minkowskianas o euclidianas.

Calibre grande: no puede aplicar transformaciones de calibre grande en instantones, porque si lo hace, obtendrá otra configuración no equivalente con un número de instante diferente. Las transformaciones de gran calibre no son redundancias en la descripción de la teoría de campos como lo son las transformaciones de pequeño calibre. Las transformaciones de gran calibre son simetrías que conectan configuraciones no equivalentes. Son singulares en el infinito, por lo que las transformaciones de calibre son inaceptables. Este tema fue discutido aquí en PSE en varias ocasiones.

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Respuestas (1)

David Bar Moshé

Forma de las transformaciones de calibre SU(N)SU(N)SU(N) en SU(N)SU(N)SU(N) Teoría de Yang-Mills

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