Forma de las transformaciones de calibre SU(N)SU(N)SU(N) en SU(N)SU(N)SU(N) Teoría de Yang-Mills

Question

Forma de las transformaciones de calibre SU(N)SU(N)SU(N) en SU(N)SU(N)SU(N) Teoría de Yang-Mills

SRS

Para $SU(N)$ Teoría de Yang-Mills, los instantones corresponden a soluciones de acción finita $A_\mu(x)$ de la ecuación euclidiana de movimiento. El requisito de la acción finita exige que $A_\mu(x)$ es un indicador puro en el límite de $\mathbb{R}^4$ dada por

A_{m} (X) = - \frac{i}{gramo} (\partial_{m} tu) {tu}^{- 1}

$A_\mu(x)=-\frac{i}{g}(\partial_\mu U)U^{-1}$ dónde

U \in S U (N)

$U\in SU(N)$ .

Para $SU(2)$ , por lo tanto, tenemos,

tu (X) = Exp [i θ_{a} (X) T^{a}]

$U(x)=\exp[i\theta_a(x)T^a]$ dónde

T^{a} = σ^{a} / 2

$T^a=\sigma^a/2$ son los generadores de

S U (2)

$SU(2)$ en la representación fundamental. Sin embargo,

U

$U$ se toma como

tu = \frac{X_{4} + i σ \cdot X}{τ}

$U=\frac{x_4+i\boldsymbol{\sigma}\cdot\textbf{x}}{\tau}$ dónde

τ^{2} = x_{4}^{2} + x \cdot x

$\tau^2=x_4^2+\textbf{x}\cdot\textbf{x}$ mientras estudiaba instantes de clase

n = 1

$n=1$ .

¿Es la última expresión de $U$ un caso especial de la expresión anterior? En ese caso, ¿cómo se deriva la última expresión de la primera?

Respuestas (2)

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una mente curiosa · Answer 1

Esto no tiene nada que ver con los instantones o la teoría cuántica de campos, es solo un hecho elemental sobre $2\times 2$ matrices:

Las matrices de Pauli $\sigma^i$ junto con la identidad $\mathbf{1}_2$ forman una base del espacio vectorial de matrices de 2 por 2. Por lo tanto, $U(x)$ , como una función matricial de 2 por 2, se puede escribir como

tu (X) = ζ (X) 1_{2} + ω_{i} (X) σ^{i}

$U(x) = \zeta(x)\mathbf{1}_2 + \omega_i(x)\sigma^i$ y tu expresión para

U (x)

$U(x)$ se sigue de las opciones

ζ (x) = x_{4} / r, ω_{i} (x) = x_{i} / r

$\zeta(x) = x_4/r,\omega_i(x) = x_i/r$ para

r = \sqrt{x^{2}}

$r = \sqrt{x^2}$ .

Si quieres ver cómo tienes que elegir el $\theta_a(x)$ en la exponencial para $U(x)$ escribiste, simplemente usa la relación estándar

Exp (i α \vec{norte} \cdot \vec{σ}) = 1_{2} porque (α) + i (\vec{norte} \cdot \vec{σ}) pecado (α)

$\exp(\mathrm{i}\alpha\vec n\cdot\vec\sigma) = \mathbf{1}_2\cos(\alpha) + \mathrm{i}(\vec n\cdot\vec \sigma)\sin(\alpha)$ y comparar coeficientes para obtener el

θ_{a} = α n_{a}

$\theta_a = \alpha n_a$ .

Andrey Feldmann · Answer 2

Por supuesto que es. La única condición que se impone a $U$ es que es unitario. Puede verificar fácilmente que la última matriz es.

{tu}^{†} = \frac{X_{4} - i \vec{σ} \cdot \vec{X}}{\sqrt{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}}};

$\begin{equation}U^{\dagger}=\frac{x_4-\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}}; \end{equation}$

{tu}^{†} \cdot tu = \frac{X_{4} - i \vec{σ} \cdot \vec{X}}{\sqrt{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}}} \cdot \frac{X_{4} + i \vec{σ} \cdot \vec{X}}{\sqrt{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}}} = \frac{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}}{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}} = 1.

$\begin{equation}U^{\dagger} \cdot U=\frac{x_4-\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}} \cdot \frac{x_4+\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}}=\frac{x_4^2+\vec{x}^2}{x_4^2+\vec{x}^2}=1. \end{equation}$

El hecho de que U sea unitario es una parte trivial. Habría respondido a mi pregunta si hubiera proporcionado una opción de $\theta_a(x)$ , que permite reducir la primera expresión a la segunda. O expresado este último como el exponencial de los generadores $\sigma^a/2$ .
Porque $U$ es unitario, puede ser diagonalizado en la base apropiada, y uno puede evaluar $\mathrm{log} U$ . Cualquier $2 \times 2$ La matriz se puede expandir en términos de $\vec{\sigma}$ 's, lo que implica que uno puede encontrar $\theta^a$ en términos de $U$ .

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SRS

Respuestas (2)

una mente curiosa

Andrey Feldmann

SRS

Andrey Feldmann

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