Entendiendo los instantones en la teoría pura de Yang-Mills

Sí, un instantón es una solución clásica a las ecuaciones euclidianas de movimiento con acción finita. Su carga topológica está dada por$k = \frac{1}{8\pi}\int \mathrm{tr}(F\wedge F)$que es la integral de la divergencia de la corriente de Chern-Simons .

Hay muchos instantes diferentes posibles. Un instanton genérico para$\mathrm{SU}(2)$y la carga topológica 1 viene dada por el instante BPST

$$A_\mu^a(x) = \frac{2}{g}\frac{\eta_{\mu\nu}^a(x-x_0)^\nu}{(x -x_0)^2 - \rho ^2}$$ dónde $x_0$es el "centro" del instanton y $\rho$su escala, también llamada radio. El $\eta$es el símbolo de 't Hooft .

Una gran clase de instantones de carga topológica$k$se puede describir de la siguiente manera: Transformando el instanten BPST por la transformación singular$x^\mu \mapsto \frac{x^\mu}{x^2}$conduce a la expresión

$$A_\mu^a(x) = -\eta_{\mu\nu}^a \partial^\nu\left(\ln\left(1+\frac{\rho^2}{(x-x_0)^2}\right)\right)$$ para el instanton transformado, y ahora se hace el ansatz más general $$A_\mu^a(x) = -\eta_{\mu\nu}^a \partial^\nu\left(\ln\left(1+\sum_{l=1}^k \frac{\rho_l^2}{(x-x_{0,l})^2}\right)\right)$$ lo que conduce a una solución instantánea de carga topológica $k$. Esta construcción se puede generalizar a otros grupos de calibre no abelianos.

La construcción genérica de todos los instantes en espaciotiempos de cuatro dimensiones del grupo de calibre$\mathrm{SU}(N)$está dado por el instanton ADHM , véase también el artículo original "Construcción de instantones" de Atiyah, Drinfeld, Hitchin y Manin.