¿Por qué no considerar todas las transformaciones de gran calibre como genuinas?

Question

¿Por qué no considerar todas las transformaciones de gran calibre como genuinas?

Física
instantes
yang-mills
teoría de calibre
invariancia de calibre
teoría cuántica de campos

knzhou

Una transformación de calibre grande es una transformación de calibre que no está conectada a la identidad. Al cuantificar una teoría de calibre, debemos tomar configuraciones relacionadas por transformaciones de calibre ordinarias para representar el mismo estado físico, pero es ambiguo si las transformaciones de calibre grandes deben considerarse como verdaderas transformaciones de calibre.

Por ejemplo, el tratamiento típico de Yang-Mills compacta el espacio para $S^3$ , y encuentra varios vacua $|n \rangle$ que están relacionados sólo por grandes transformaciones de calibre. Dado que los instantones permiten hacer túneles entre ellos, el vacío físico es un $\theta$ -vacío de la forma

| θ ⟩ = \sum_{norte} {mi}^{i norte θ} | norte ⟩ .

$|\theta \rangle = \sum_n e^{i n \theta} |n \rangle.$ Sin embargo, E. Weinberg presenta una visión diferente en su libro Soluciones clásicas en la teoría cuántica de campos , con más detalles en este artículo . Supongamos que uno trabaja en un calibre donde hay una correspondencia uno a uno entre

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ y

A_{μ}

$A_\mu$ , p.ej

A_{3} = 0, A_{2} |_{z = 0} = 0, A_{1} |_{y = z = 0}, A_{0} |_{X = y = z = 0} = 0.

$A_3 = 0, \quad A_2|_{z = 0} = 0, \quad A_1|_{y = z = 0}, \quad A_0|_{x = y = z = 0} = 0.$ No hay libertad de calibre aquí porque la primera condición deja solo

z

$z$ -transformaciones de calibre independientes, luego el segundo sale solo

z

$z$ -independiente y

y

$y$ -Transformaciones de calibre independientes, etc. Por lo tanto, hay un vacío único , correspondiente a

A_{μ} = 0

$A_\mu = 0$ , y no existe tal cosa como un

θ

$\theta$ -vacío. La clave aquí es que establecer este calibre requiere grandes transformaciones de calibre, por lo que Weinberg implícitamente las ha tomado como operaciones sin hacer nada.

Aunque esta formulación es diferente de la habitual, parece dar todas las mismas predicciones físicas. Por ejemplo, los instantones todavía existen, pero son eventos de túnel desde un vacío hacia sí mismo, de forma análoga a un péndulo que gira una vuelta completa. Los efectos observables de los instantones, como la violación del número bariónico, también se mantienen. El $\theta$ -el término de QCD no necesita ser inducido por el $\theta$ vacío, pero simplemente se puede poner en el Lagrangiano ya que las simetrías lo permiten.

Por lo tanto, para Yang-Mills, parece que no perdemos nada al tomar todas las transformaciones de gran calibre como operaciones sin hacer nada, y ganamos simplicidad y claridad. ¿Hay alguna desventaja? Específicamente, ¿hay alguna cantidad medible en la que el formalismo de Weinberg se equivoque y el más común salga bien? En términos más generales, ¿por qué no siempre modificamos mediante transformaciones de gran calibre?

ryan thorngren

No sé la historia, pero aquí está mi perspectiva. Solo se puede cambiar el número de instanten mediante una transformación local que da vueltas

G

$G$ en el infinito Al cuantificar teorías sobre variedades no compactas, requerimos que los parámetros de transformación de calibre tiendan a parámetros constantes (o planos en el caso de simetría más alta). La invariancia bajo estas transformaciones de calibre asegura que la carga entrante sea igual a la carga saliente. Si impone la invariancia de calibre bajo transformaciones locales en el infinito, no habrá ninguna forma de calcular el

S

$S$ -matriz entre estados cargados.

knzhou

@RyanThorngren Creo que es un problema ortogonal; las transformaciones de gran calibre que estoy considerando aquí son constantes en el infinito, solo que no están continuamente conectadas a la identidad. Todo lo que dije estaba realmente implícito en el espacio compactado, donde todavía obtienes muchos vacíos si no modificas mediante transformaciones de gran calibre, y un vacío único si lo haces.

ryan thorngren

O estudias transformaciones en

R^{4}

$R^4$ que se enrollan en el infinito o con una singularidad en la compactación de un punto. De cualquier manera, no hay una transformación de calibre que lo lleve entre sectores instantáneos. Y ahora estoy confundido por lo que dices porque no hay nada trivial

S U (n)

$SU(n)$ paquetes en

S^{3}

$S^3$ .

knzhou

@RyanThorngren Creo que estamos teniendo una confusión entre vacua (en

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ , posiblemente compactado a

S^{3}

$S^3$ ) e instantes (en

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ , posiblemente compactado a

S^{4}

$S^4$ ). En la imagen estándar, es imposible que cualquier transformación de calibre, grande o pequeña, cambie el número de instanten, pero las transformaciones de calibre grandes pueden ir entre los vacíos. En la imagen de Weinberg, todos los vacíos se identifican como un estado, pero los instantones todavía se distinguen por su número de instantón. (En cualquier caso, los vacíos siempre son haces de fibras triviales, como dijiste).

ryan thorngren

Gracias, creo que ahora entiendo y estoy de acuerdo contigo. Supongo que hay una consecuencia física de estos theta vacua, debe ser muy sutil, en la línea del efecto de memoria electromagnética.

David Bar Moshé

Si trata las transformaciones de gran calibre como redundancias, mide todo el efecto Aharonov-Bohm.

knzhou

@DavidBarMoshe No veo por qué sería eso. En la imagen del paquete (

U (1)

$U(1)$ agrupar, decir,

S^{1}

$S^1$ ) Pensé que la fase Aharanov-Bohm estaba integrada en las funciones de transición del paquete y, por lo tanto, no puede cambiarse mediante ninguna transformación de calibre, grande o pequeña.

David Bar Moshé

En

S^{1}

$S^1$ fuera del solenoide está

A = \frac{Φ}{2 π r} d θ

$A = \frac{\Phi}{2 \pi r} d\theta$ . Si se permitieran transformaciones de gran calibre, ¿qué puede impedirnos medir este campo?

A \to A + d ψ = 0

$A \rightarrow A + d\psi = 0$ con

ψ = - \frac{ϕ}{2 π r} θ

$\psi = -\frac{\phi}{2 \pi r} \theta$ . Esta es una transformación de calibre grande porque la función de calibre

e^{i ψ}

$e^{i\psi}$ es discontinuo en

S^{1}

$S^1$ , por lo tanto, no se puede obtener mediante una deformación suave de la transformación de calibre trivial. Por otro lado, no hay restricción en la aplicación de transformaciones de calibre pequeñas para las cuales

ψ (2 π) = ψ (0)

$\psi(2 \pi) = \psi(0)$ . En este caso no existe ningún cambio en el patrón de interferencia.

knzhou

@DavidBarMoshe No llamaría a lo que propones una transformación de gran calibre. Mi impresión es que las transformaciones de gran calibre tendrían

ϕ (2 π) = ϕ (0)

$\phi(2 \pi) = \phi(0)$ pero con el mapa

ϕ (θ)

$\phi(\theta)$ no homotópico a la identidad, ya que puede enrollarse no trivial. Dichos mapas solo cambian la fase Aharanov-Bohm por múltiplos de

2 π

$2\pi$ , así que no hay problema.

David Bar Moshé

Una transformación de calibre grande es un elemento del grupo de calibre que no se puede conectar sin problemas a la identidad. La transformación anterior es tal. Tiene la forma de una transformación de calibre, pero usted propone no llamarlo una gran transformación de calibre, entonces, ¿qué es? No puede ser una transformación de pequeño calibre porque cambia la física.

knzhou

@DavidBarMoshe Defino una transformación de calibre como un automorfismo de paquete que conserva la fibra

P \to P

$P \to P$ , y una gran transformación de calibre para que no esté conectada sin problemas a la identidad. Para empezar, la transformación de indicador propuesta no es un mapa, ya que no tiene un solo valor.

knzhou

Otro argumento: el efecto Aharahov-Bohm relaciona una fase con un flujo magnético. Las transformaciones de calibre, grandes o pequeñas, nunca pueden cambiar el flujo magnético, por lo que no pueden cambiar la fase de Aharahov-Bohm.

David Bar Moshé

No creo que pueda convencerlo, pero en aras de la precisión, la transformación de calibre anterior es de hecho un automorfismo de haz que preserva la fibra: actúa por un

U (1)

$U(1)$ transformación en el

U (1)

$U(1)$ fibras y no mezcla fibras. De hecho, es discontinuo, pero ¿por qué es diferente de las transformaciones de calibre singulares (grandes) en la teoría del instante? Según tengo entendido, ambas son transformaciones de gran calibre.

knzhou

@DavidBarMoshe Sigo pensando que solo estamos usando una nomenclatura diferente. De la forma en que lo aprendí (de E. Weinberg), las transformaciones de gran calibre no cambian el número de instantón; no se puede calibrar un instante. Por otro lado, sí cambian el número de bobinado de vacío (los cortes espaciales entre los instantes del túnel), y propongo identificar todos los vacíos como el mismo estado.

David Bar Moshé

Tome una configuración trivial

A = 0

$A=0$ (Número instantáneo cero) actuar sobre él con una gran transformación de calibre

U

$U$ , tu obtienes

A = U^{- 1} d U

$A = U^{-1} dU$ con un número de instante diferente.

gj255

Solo como referencia, Rubakov también menciona en su libro (p277) que identificar los diferentes

| n ⟩

$|n\rangle$ vacua es un enfoque igualmente válido para el problema de los instantes y

θ

$\theta$ -vacío. Él acredita esta idea a Manton (1983), quien personalmente me dijo que uno debería identificar estos

| n ⟩

$|n\rangle$ vacua en puro Yang-Mills. Este es también el enfoque que se encuentra en el libro de Shifman (pág. 177), quien propugna la idea de que el potencial a través del cual hacer un túnel se define realmente en un círculo, no periódicamente en una línea.

knzhou

@ gj255 ¡Apreciaría si hicieras de esto una respuesta!

gj255

@knzhou No estoy seguro de tener suficiente experiencia para decir concretamente que está bien tratar las transformaciones de gran calibre como genuinas... No entiendo las respuestas de ACuriousMind o David Bar Moshe, por ejemplo... Lo que diré es que sé que esta imagen debe cambiar cuando se acoplan fermiones sin masa. La anomalía axial ahora asegura que diferentes

| n ⟩

$|n\rangle$ vacua son físicamente diferentes. Así, la anomalía tiene el efecto de cambiar el espacio de configuración a algún espacio de cobertura del mismo.

Respuestas (1)

¿Por qué no considerar todas las transformaciones de gran calibre como genuinas?

No sé la historia, pero aquí está mi perspectiva. Solo se puede cambiar el número de instanten mediante una transformación local que da vueltas $G$ en el infinito Al cuantificar teorías sobre variedades no compactas, requerimos que los parámetros de transformación de calibre tiendan a parámetros constantes (o planos en el caso de simetría más alta). La invariancia bajo estas transformaciones de calibre asegura que la carga entrante sea igual a la carga saliente. Si impone la invariancia de calibre bajo transformaciones locales en el infinito, no habrá ninguna forma de calcular el $S$ -matriz entre estados cargados.
@RyanThorngren Creo que es un problema ortogonal; las transformaciones de gran calibre que estoy considerando aquí son constantes en el infinito, solo que no están continuamente conectadas a la identidad. Todo lo que dije estaba realmente implícito en el espacio compactado, donde todavía obtienes muchos vacíos si no modificas mediante transformaciones de gran calibre, y un vacío único si lo haces.
O estudias transformaciones en $R^4$ que se enrollan en el infinito o con una singularidad en la compactación de un punto. De cualquier manera, no hay una transformación de calibre que lo lleve entre sectores instantáneos. Y ahora estoy confundido por lo que dices porque no hay nada trivial $SU(n)$ paquetes en $S^3$ .
@RyanThorngren Creo que estamos teniendo una confusión entre vacua (en $\mathbb{R}^3$ , posiblemente compactado a $S^3$ ) e instantes (en $\mathbb{R}^4$ , posiblemente compactado a $S^4$ ). En la imagen estándar, es imposible que cualquier transformación de calibre, grande o pequeña, cambie el número de instanten, pero las transformaciones de calibre grandes pueden ir entre los vacíos. En la imagen de Weinberg, todos los vacíos se identifican como un estado, pero los instantones todavía se distinguen por su número de instantón. (En cualquier caso, los vacíos siempre son haces de fibras triviales, como dijiste).
Gracias, creo que ahora entiendo y estoy de acuerdo contigo. Supongo que hay una consecuencia física de estos theta vacua, debe ser muy sutil, en la línea del efecto de memoria electromagnética.
Si trata las transformaciones de gran calibre como redundancias, mide todo el efecto Aharonov-Bohm.
@DavidBarMoshe No veo por qué sería eso. En la imagen del paquete ( $U(1)$ agrupar, decir, $S^1$ ) Pensé que la fase Aharanov-Bohm estaba integrada en las funciones de transición del paquete y, por lo tanto, no puede cambiarse mediante ninguna transformación de calibre, grande o pequeña.
En $S^1$ fuera del solenoide está $A = \frac{\Phi}{2 \pi r} d\theta$ . Si se permitieran transformaciones de gran calibre, ¿qué puede impedirnos medir este campo? $A \rightarrow A + d\psi = 0$ con $\psi = -\frac{\phi}{2 \pi r} \theta$ . Esta es una transformación de calibre grande porque la función de calibre $e^{i\psi}$ es discontinuo en $S^1$ , por lo tanto, no se puede obtener mediante una deformación suave de la transformación de calibre trivial. Por otro lado, no hay restricción en la aplicación de transformaciones de calibre pequeñas para las cuales $\psi(2 \pi) = \psi(0)$ . En este caso no existe ningún cambio en el patrón de interferencia.
@DavidBarMoshe No llamaría a lo que propones una transformación de gran calibre. Mi impresión es que las transformaciones de gran calibre tendrían $\phi(2 \pi) = \phi(0)$ pero con el mapa $\phi(\theta)$ no homotópico a la identidad, ya que puede enrollarse no trivial. Dichos mapas solo cambian la fase Aharanov-Bohm por múltiplos de $2\pi$ , así que no hay problema.
Una transformación de calibre grande es un elemento del grupo de calibre que no se puede conectar sin problemas a la identidad. La transformación anterior es tal. Tiene la forma de una transformación de calibre, pero usted propone no llamarlo una gran transformación de calibre, entonces, ¿qué es? No puede ser una transformación de pequeño calibre porque cambia la física.
@DavidBarMoshe Defino una transformación de calibre como un automorfismo de paquete que conserva la fibra $P \to P$ , y una gran transformación de calibre para que no esté conectada sin problemas a la identidad. Para empezar, la transformación de indicador propuesta no es un mapa, ya que no tiene un solo valor.
Otro argumento: el efecto Aharahov-Bohm relaciona una fase con un flujo magnético. Las transformaciones de calibre, grandes o pequeñas, nunca pueden cambiar el flujo magnético, por lo que no pueden cambiar la fase de Aharahov-Bohm.
No creo que pueda convencerlo, pero en aras de la precisión, la transformación de calibre anterior es de hecho un automorfismo de haz que preserva la fibra: actúa por un $U(1)$ transformación en el $U(1)$ fibras y no mezcla fibras. De hecho, es discontinuo, pero ¿por qué es diferente de las transformaciones de calibre singulares (grandes) en la teoría del instante? Según tengo entendido, ambas son transformaciones de gran calibre.
@DavidBarMoshe Sigo pensando que solo estamos usando una nomenclatura diferente. De la forma en que lo aprendí (de E. Weinberg), las transformaciones de gran calibre no cambian el número de instantón; no se puede calibrar un instante. Por otro lado, sí cambian el número de bobinado de vacío (los cortes espaciales entre los instantes del túnel), y propongo identificar todos los vacíos como el mismo estado.
Tome una configuración trivial $A=0$ (Número instantáneo cero) actuar sobre él con una gran transformación de calibre $U$ , tu obtienes $A = U^{-1} dU$ con un número de instante diferente.
Solo como referencia, Rubakov también menciona en su libro (p277) que identificar los diferentes $|n\rangle$ vacua es un enfoque igualmente válido para el problema de los instantes y $\theta$ -vacío. Él acredita esta idea a Manton (1983), quien personalmente me dijo que uno debería identificar estos $|n\rangle$ vacua en puro Yang-Mills. Este es también el enfoque que se encuentra en el libro de Shifman (pág. 177), quien propugna la idea de que el potencial a través del cual hacer un túnel se define realmente en un círculo, no periódicamente en una línea.
@knzhou No estoy seguro de tener suficiente experiencia para decir concretamente que está bien tratar las transformaciones de gran calibre como genuinas... No entiendo las respuestas de ACuriousMind o David Bar Moshe, por ejemplo... Lo que diré es que sé que esta imagen debe cambiar cuando se acoplan fermiones sin masa. La anomalía axial ahora asegura que diferentes $|n\rangle$ vacua son físicamente diferentes. Así, la anomalía tiene el efecto de cambiar el espacio de configuración a algún espacio de cobertura del mismo.

una mente curiosa · Answer 1

Por lo general, no puede usar transformaciones de gran calibre como operaciones de "no hacer nada" porque, si bien conectan sistemas clásicamente equivalentes, las cuantizaciones de estos sistemas pueden no ser equivalentes, cf. esta respuesta de David Bar Moshe y las referencias que contiene .

En resumen, el ejemplo dado allí es el efecto Witten (llamado así por la descripción de Witten en "Dyons of charge $eθ/2π$ " ) produciendo diones con carga eléctrica fraccionaria cuando $\theta$ es distinto de cero. El dyon aparece como "el estado monopolo" cuando se cuantifican las transformaciones de calibre pequeño del módulo de la teoría.

En un nivel más abstracto, es el propio proceso de cuantización habitual lo que significa que, cuánticamente, solo se garantiza que las transformaciones de calibre pequeño "no harán nada": tanto la receta de Dirac-Bergmann como el formalismo BRST se centran en el álgebra de las transformaciones de calibre y en hacer cumplir su carácter de "no hacer nada" en el espacio físico cuántico de los estados. Nada en estas recetas impone que las transformaciones de gran calibre serían operaciones de "no hacer nada" en la teoría cuántica de calibre, ya que el álgebra solo puede exponenciar las transformaciones conectadas a la identidad. Puede salirse con la suya afirmando que lo hacen, pero la cuantización estándar de los sistemas de calibre no le brinda una base sólida para hacerlo, ni siquiera según los estándares más laxos de los físicos.

No creo que el efecto Witten sea un ejemplo. Mi impresión es que los efectos físicos de las 'cuantizaciones no equivalentes' de las que habla ya están explicados por el $\theta$ -término en el formalismo de Weinberg. (Revisando una derivación del efecto Witten, parece depender solo de la presencia de este término, no de la $\theta$ -estructura de vacío en sí.) ¿Existe realmente una dependencia directa en el hecho de que hay múltiples vacíos distintos?
De hecho, estoy de acuerdo en que los esquemas de cuantificación estándar no dicen nada de ninguna manera, pero desde mi perspectiva, el "esquema de Weinberg", que hace que todas las transformaciones de gran calibre no hagan nada, no tiene ninguna desventaja. Podrías considerarlo un postulado adicional, si quieres. ¿Hay algo de malo en hacer eso?
@knzhou No puedo acceder al artículo de Weinberg, así que no puedo decir exactamente cuál es su esquema. Sin embargo, casi suena como si arreglara el indicador antes de la cuantificación. Cuando esto es posible, es decir, en ausencia de ambigüedades de Gribov, entonces esta es una elección perfectamente válida, pero la teoría con calibre completamente fijo ya no es una teoría de calibre . No está implementando ninguna transformación de calibre como operaciones de "no hacer nada", simplemente no hay transformaciones de calibre.

¿Por qué no considerar todas las transformaciones de gran calibre como genuinas?

knzhou

ryan thorngren

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David Bar Moshé

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