Instantón de Yang-Mills

Question

Instantón de Yang-Mills

Raj

¿Cómo puede la solución instantánea a la teoría de Yang-Mills con el grupo de calibre? $SU(3)$ o $SU(N)$ ¿Ser obtenido? Para $SU(2)$ se explica en los libros de texto, pero ¿qué pasa con los grupos de indicadores de color más generales?

EDITAR: ¿Cómo $A^\mu$ parecerse a SU(3) o SU(N). Wikipedia solo da para SU(2). Está dado por para SU(2)

A_{a}^{m} = 2 / gramo \frac{η_{m v}^{a} (X - z)}{(X - z)^{2} + ρ^{2}}

$A^\mu_a = 2/g \frac{\eta^a_{\mu\nu}(x-z)}{(x-z)^2+\rho^2}$

twistor59

Wikipedia te dice cómo hacerlo.

Dilatón

@Qmechanic ¿por qué pusiste una etiqueta de libro en esto? Prefiero pensar que está buscando una referencia y que la respuesta se encontrará más bien en un artículo que en un libro de texto ...? Ciertamente, la pregunta se eliminará ahora con esta etiqueta, aunque tenga 5 votos a favor y 2 estrellas, lo que significa que muchas personas estarían interesadas en ver una respuesta aquí :-/

qmecanico

@Dilaton: Tómese un momento para leer la descripción de la etiqueta para las etiquetas 'libro' y 'ref.-req.' etiquetas Es irrelevante que OP use casualmente la palabra 'ref'. Además, no utilice las etiquetas en sí mismas como argumentos a favor o en contra en cualquier debate de cierre o reapertura. Son, en principio, espectadores inocentes. Si una pregunta es lo suficientemente buena para permanecer abierta o reabrirse, debería ser así, independientemente de las etiquetas que se utilicen actualmente. El etiquetado incorrecto solo hace que sea más difícil encontrar preguntas para todos.

Dilatón

@Qmechanic cada pregunta que tiene la etiqueta del libro se elimina en estos días aquí. Poner esto en una pregunta es como repartir la sentencia de muerte por la pregunta. Incluso si solo vuelve a etiquetar de tal manera que las personas adecuadas puedan encontrar la pregunta y dejarla en paz, otros la matarán de todos modos, aunque un posible respondedor inteligente podría esbozar la explicación de la pregunta de física que puedo ver en esta publicación en una respuesta directa e insinúe una referencia (o un libro o lo que sea) solo para obtener más información y detalles... :-(

qmecanico

Creo que los votos a favor se deben a que a la gente realmente le gustaría escuchar acerca de los instantons (en lugar de simplemente recibir una lista de referencias y enlaces). En ese sentido, @Raj, sería bueno si usted (¿o alguien más?) pudiera reformular su pregunta para hacer una pregunta de física real (en lugar de solo pedir referencias).

Dilatón

@Qmechanic Intentaré una nueva redacción que pueda prescindir de la etiqueta del libro, creo. Si no me equivoco (?) esto no me parece demasiado difícil (?).

Raj

Lo siento si publico como respuesta. Olvidé registrarme. Mi pregunta es: ¿cómo funciona el potencial

A^{μ}

$A^\mu$ ¿Qué aspecto tendría si se considerara SU(3) o SU(N)? Wikipedia solo muestra para SU(2).

qmecanico

Hola @Raj. Si desea fusionar sus dos cuentas, consulte physics.stackexchange.com/help/user-merge

Respuestas (1)

Instantón de Yang-Mills

@Qmechanic ¿por qué pusiste una etiqueta de libro en esto? Prefiero pensar que está buscando una referencia y que la respuesta se encontrará más bien en un artículo que en un libro de texto ...? Ciertamente, la pregunta se eliminará ahora con esta etiqueta, aunque tenga 5 votos a favor y 2 estrellas, lo que significa que muchas personas estarían interesadas en ver una respuesta aquí :-/
@Dilaton: Tómese un momento para leer la descripción de la etiqueta para las etiquetas 'libro' y 'ref.-req.' etiquetas Es irrelevante que OP use casualmente la palabra 'ref'. Además, no utilice las etiquetas en sí mismas como argumentos a favor o en contra en cualquier debate de cierre o reapertura. Son, en principio, espectadores inocentes. Si una pregunta es lo suficientemente buena para permanecer abierta o reabrirse, debería ser así, independientemente de las etiquetas que se utilicen actualmente. El etiquetado incorrecto solo hace que sea más difícil encontrar preguntas para todos.
@Qmechanic cada pregunta que tiene la etiqueta del libro se elimina en estos días aquí. Poner esto en una pregunta es como repartir la sentencia de muerte por la pregunta. Incluso si solo vuelve a etiquetar de tal manera que las personas adecuadas puedan encontrar la pregunta y dejarla en paz, otros la matarán de todos modos, aunque un posible respondedor inteligente podría esbozar la explicación de la pregunta de física que puedo ver en esta publicación en una respuesta directa e insinúe una referencia (o un libro o lo que sea) solo para obtener más información y detalles... :-(
Creo que los votos a favor se deben a que a la gente realmente le gustaría escuchar acerca de los instantons (en lugar de simplemente recibir una lista de referencias y enlaces). En ese sentido, @Raj, sería bueno si usted (¿o alguien más?) pudiera reformular su pregunta para hacer una pregunta de física real (en lugar de solo pedir referencias).
@Qmechanic Intentaré una nueva redacción que pueda prescindir de la etiqueta del libro, creo. Si no me equivoco (?) esto no me parece demasiado difícil (?).
Lo siento si publico como respuesta. Olvidé registrarme. Mi pregunta es: ¿cómo funciona el potencial $A^\mu$ ¿Qué aspecto tendría si se considerara SU(3) o SU(N)? Wikipedia solo muestra para SU(2).
Hola @Raj. Si desea fusionar sus dos cuentas, consulte physics.stackexchange.com/help/user-merge

Siva · Answer 1

Siva

Para tener una solución instantánea, debe asignar el "espacio-tiempo en el infinito" (euclideanizado) a la variedad del grupo. En el caso de SU(2), tanto el espacio-tiempo en el infinito como la variedad del grupo son $S^3$ y los instantones se caracterizan por los números enteros. Espero que entiendas eso, al menos para SU(2).

Si te interesan los instantones 4d, se caracterizan por $H_3(M_G)$ dónde $M_G$ es la variedad del grupo, ya que el espacio-tiempo en el infinito es $S^3$ . Entonces, para cada 3 ciclos no contraíbles (homológicamente distintos) de la variedad de grupo, puede encontrar un instantón. Como dice el enlace de Wikipedia proporcionado por @twistor, los campos de calibre correspondientes a las direcciones en ese ciclo de 3 tendrán el mismo perfil que el instante SU(2) y los otros campos de calibre tendrán una configuración trivial (por supuesto, hasta un transformación de calibre). Esencialmente, está buscando las posibles incrustaciones de SU(2) dentro de su grupo de indicadores y luego está creando instantes a partir de esos subgrupos SU(2).

Si entiende eso, la generalización a un número arbitrario de dimensiones debería ser sencilla.

abeto

¿Es SU(2) integrable en SU(N),

N \geq 3

$N\geq 3$ ?

Siva

Sí. Si conoce algo de teoría de grupos, el diagrama de Dynkin de SU(2) es un solo "punto" y para cualquier SU(N) es un montón de "puntos" con algunas líneas entre ellos. De la forma en que lo veo, aproximadamente, podrías colocar el punto SU(2) en cada uno de los sitios de los diagramas de Dynkin de cualquier grupo más grande. De hecho, puede haber múltiples incrustaciones. Tal vez alguien podría dar un enlace que se ocupe de esto.

ruben verresen

¿No debería caracterizarse por el tercer grupo de homotopía?

π_{3}

$\pi_3$ en lugar del tercer grupo de homología

H_{3}

$H_3$ ?

Siva

@RubenVerresen: Creo que podrías tener razón. ¿Tiene una explicación física de por qué los objetos relevantes son homotopías en lugar de homologías, cuando se habla de instantones en varias variedades?

ruben verresen

@Siva: la forma habitual de mirar `física-y': supongamos que tiene su instanton tal que la acción coincide con el segundo número de Chern

\int F \land F

$\int F \wedge F$ , entonces en el límite del infinito esto es igual

\int_{S^{3}} ω

$\int_{S^3} \omega$ donde por Stokes

d ω = F \land F

$d\omega = F \wedge F$ . Esto significa

ω

$\omega$ es la forma de Chern-Simons

ω = A \land d A + \frac{2}{3} A^{3}

$\omega = A\wedge d A + \frac{2}{3} A^3$ . Pero como exigimos que nuestra curvatura sea cero en el infinito, nuestra conexión debe ser puramente calibrada.

A = g^{- 1} d g

$A = g^{-1}dg$ . Así que la conexión está determinada por esto.

g

$g$ como una función de

S^{3}

$S^3$ , es decir, un mapa

S^{3} \to G

$S^3 \to G$ . Pero eso es por definición.

π_{3} (G)

$\pi_3(G)$ .

ruben verresen

Sin embargo, lo anterior no es realmente riguroso: muestra que (1) la integral de la forma Chern-Simons en el infinito es un número entero (ya que tiene que ser igual al segundo número de Chern en el espacio-tiempo (compactado)), y (2) que la conexión en el infinito está determinada por un mapa

S^{3} \to G

$S^3 \to G$ . Por lo tanto, es muy sugerente que la integral de la forma Chern-Simons mida el índice del mapa

S^{3} \to G

$S^3 \to G$ , pero lo anterior no lo prueba.

ruben verresen

Una forma más 'matemática': el conjunto de topológicamente distintas

G

$G$ -paquetes en una variedad X es equivalente al conjunto de mapas homotópicamente distintos

X \to B G

$X \to BG$ , denotado como

[X, B G]

$[X,BG]$ (este es el teorema de clasificación para fibrados vectoriales, donde

B G

$BG$ es el espacio de clasificación de

G

$G$ ). Entonces vemos que los números instantáneos en un espacio-tiempo

S^{4}

$S^4$ se clasifican por

[S^{4}, B G] = π_{4} (B G)

$[S^4,BG] = \pi_4(BG)$ . Es entonces un hecho general de las matemáticas que

π_{4} (B G) = π_{3} (G)

$\pi_4(BG) = \pi_3(G)$ . "Físicamente", esta última ecuación dice que el segundo número de Chern en el espacio-tiempo (izquierda) coincide con la acción plana de Chern-Simons en el infinito (derecha).

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