Paquetes y espacio-tiempo compactado

Una teoría de calibre no se puede ver de forma puramente local, tiene características inherentemente globales que no se pueden ver localmente. La formalización matemática adecuada de una teoría de calibre de Yang-Mills es que el campo de calibre$A$es una conexión en un paquete principal $P\to M$sobre el espacio-tiempo$M$. Sin embargo, en la práctica, resulta que los físicos en realidad no quieren$M$ser el espacio-tiempo mismo, pero el espacio-tiempo compactado .

Podemos ver esto más claramente en la construcción del instanton BPST en Euclidean$\mathbb{R}^4$: La traza invariante de calibre de la intensidad de campo en sí es como$\mathrm{tr}(F)\propto \frac{\rho^2}{(x^2+\rho^2)^2}$y está bien definido en todas partes, cayendo hacia el infinito. Pero si consideramos el potencial de calibre asociado$A$, uno encuentra que no está bien definido en todas partes, va como$A\propto \frac{x^3}{x^2(x^2+\rho^2)}$, que es singular para$x\to 0$, pero bien definido para$\lvert x\rvert\to\infty$como$A(x)\to U(x)^{-1}\mathrm{d}U(x)$, donde$U(x)$es esencialmente la transformación de calibre que anotó en su pregunta.

Entonces queremos$F$como una fuerza de campo físicamente permitida, sin embargo, su correspondiente$A$no está bien definido en$\mathbb{R}^4$. El punto de vista del paquete no puede ayudarnos porque todos los paquetes en el espacio euclidiano son triviales, lo que significa$A$ siempre debe definirse globalmente . Sin embargo, si pasamos a$S^4$como la compactación conforme de$\mathbb{R}^4$e identificamos uno de los polos con "infinito" y el otro con cero, entonces se hacen posibles paquetes no triviales, y obtenemos dos descripciones locales en los "hemisferios" norte y sur que generalmente podemos extender sobre toda la esfera excepto una sola punto _ Si la descripción local de$A$se extiende sobre toda la esfera, entonces el haz principal de la teoría gauge es trivial.

Pero ya vimos que lo específico$A$elegimos no se extiende a$x=0$, y de hecho la invariante topológica$\int\mathrm{tr}(F\wedge F)$es distinto de cero, lo que significa que el paquete no es trivial, lo que significa$A$ no puede extenderse sobre toda la esfera. En particular, es inherentemente imposible encontrar un$A$que está bien definido en cada$x\in\mathbb{R}^4$ y tiene un límite bien definido hacia el infinito que nos da la solución instantánea BPST$F$.

Así que tienes exactamente dos opciones: O debemos considerar la teoría de calibre en$S^4$En vez de$\mathbb{R}^4$, o los instantes BPST - todos los instantes , de hecho - no son en realidad soluciones permitidas de la teoría de calibre. La física estándar opta por lo primero, a la luz de las contribuciones instantáneas a cosas detectables como la anomalía axial.

Transformaciones de calibre grande

Ahora que sabemos que estamos viendo un paquete principal$P\to S^4$, una transformación de calibre es un automorfismo que conserva la fibra$P\to P$, y puede suceder que estos no sean homotópicos al mapa de identidad$P\to P$. Como ejemplo de un juguete, considere el$\mathrm{U}(1)$-paquete$\mathrm{U}(1)\times S^1\to S^1$, que es el toro, y la transformación de calibre$\mathrm{U}(1)\times S^1\to\mathrm{U}(1)\times S^1, (g,s)\mapsto (gs,s)$, que toma la incrustación canónica$S^1\to \mathrm{U}(1)\times S^1$y lo enrolla una vez alrededor del círculo$\mathrm{U}(1)$. Dado que el número de bobinado es un invariante de homotopía, la imagen del$S^1$, como camino, no es homotópica a la fuente y por lo tanto esta transformación no es homotópica a la identidad. Esta es una transformación de calibre grande en el sentido matemático apropiado, como se define en el artículo de Wikipedia y se analiza, por ejemplo, en esta respuesta de David Bar Moshe . En realidad, no estoy seguro de si hay transformaciones de gran calibre "verdaderas" en$S^4$en este sentido, pero creo que no los hay.

"Transformaciones de calibre falso", o: funciones de transición

Al carecer de la maquinaria formal de los haces principales, el físico a menudo confunde dos objetos diferentes: las transformaciones de norma.$P\to P$, que descienden a funciones$g_i : U_i\to G$en la descripción local, y la función de transición , que son funciones similares a la transformación de calibre$t_{ij} : U_i\cap U_j\to G$que definen el paquete en la descripción local y no existen globalmente. Ambos$g_i$y el$t_{ij}$cumplen ciertas condiciones de compatibilidad para estar globalmente bien definidos.

Ahora, si el físico hace una transformación de calibre, por lo general solo consideran$\mathbb{R}^4$, lo que significa que establecen implícitamente la transformación de calibre en la otra descripción local: el conjunto abierto alrededor$\infty$- Ser banal. La condición de compatibilidad dice entonces que$g_i = t_{ij}$en$U_i\cap U_j$. En la descripción local del físico, esta superposición es la esfera en el infinito , es decir, el comportamiento de la transformación de calibre como$\lvert x\rvert \to \infty$. Entonces la condición de que$U(x)\to I$que te confunde a ti, a Itzykon, a Zuber y probablemente a muchos otros no es más que la condición de que el$U(x)$, dado en esta descripción local, en realidad eleva a una transformación de calibre adecuada en el paquete$P\to S^4$.

A$U(x)$que no hace esto o necesita ser complementado por su correspondiente transformación en la otra descripción local, o cambia el paquete , es decir, el físico ha declarado que cambió la función de transición, y por lo tanto (probablemente) el paquete. Él$\mathrm{SU}(2)\cong S^3$paquetes más$S^4$se clasifican por mapas$S^3\to S^3$"en el ecuador", en perfecta analogía con$\mathrm{U}(1)$-paquetes en$S^1$como se describe en esta respuesta mía . Y como$x\gg c$, su$U^{(1)}(x)$se convierte en una función

$$\frac{x}{\lvert x\rvert}\mapsto \exp\left(\frac{\mathrm{i}\tau_\mu x^\mu}{\lvert x\rvert}\right),$$ donde$x/\lvert x\rvert$es solo un punto en la esfera unitaria$S^3\subset\mathbb{R}^4$y el rhs está en$\mathrm{SU}(2)\cong S^3$naturalmente. entonces este es un mapa$S^3\to S^3$cuya clase de homotopía clasifica el paquete, y no es demasiado difícil ver que enrolla el$S^3$una vez alrededor de sí mismo, en contraste con el mapa constante, por lo que el cambio implícito que lleva a cabo en la función de transición en realidad cambia el paquete. No es una transformación de norma para la teoría sobre$S^4$ya que lo hace, ni siquiera uno "grande", pero estas transformaciones también se denominan a menudo transformaciones de calibre grande. Tenga en cuenta finalmente que tampoco es una transformación de calibre permitida en$\mathbb{R}^4$ya que no es suave en$0$.