Anomalía axial en QCD VS anomalía axial en álgebra actual QCD

Me gustaría entender la distinción entre una anomalía axial en QCD (Vacío Theta: axión -> 2 gluones) y una anomalía axial en QCD de corriente (término de Chern-Simons: pión->dos fotones, fotón->tres piones, . ..). Una pregunta más específica: ¿la anomalía axial actual está relacionada con las propiedades topológicas de la teoría como anomalía axial "interna"?

Si no entiende la pregunta, hay aclaraciones sobre la anomalía axial "interna" y la anomalía axial actual (como yo lo veo):

1) Primero, en cromodinámica cuántica, una violación del grupo axial$U_{A}(1)$conduce a una no conservación de la corriente axial:

$$\begin{gather}\label{nonconservation of curent} \partial^{\mu}J_{5,\mu}=2\,i \, \bar q \, \hat m_{q} \gamma_{5} \, q+\frac{N_{f}\,g^{2}}{8\pi^{2}}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\,tr(G_{\mu\nu}G_{\alpha\beta}) \;\ , \end{gather}$$

dónde$G_{\mu\nu}$- tensor de intensidad de campo de gluones. La violación del grupo axial está relacionada con el hecho de que el vacío de la cromodinámica cuántica tiene una estructura topológica compleja, y esto eventualmente conduce a un término adicional en el Lagrangiano:

$$\begin{gather}\label{theta term} \mathcal{L}_{\theta}=\theta\frac{g^{2}}{16 \pi^{2}}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\,tr(G_{\mu\nu}G_{\alpha\beta}) \end{gather}$$

2) En segundo lugar, además de la anomalía "interna" de la cromodinámica escrita anteriormente, existen anomalías externas en la cromodinámica de las corrientes externas, la más simple de las cuales corresponde al proceso$\pi_{0}\rightarrow\gamma\gamma$:

$$\begin{gather}\label{nonconservation of curent in algebra curents} \partial^{\mu}J^{em}_{5,\mu}=2m(\bar q \, \gamma_{5} \, \tau_{3}\, q)+\frac{e^{2}}{16\pi^{2}}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta} \;\ , \end{gather}$$ dónde $q$- campo de quarks, $F_{\mu\nu}$- intensidad del campo electromagnético. El Lagrangiano correspondiente para la anomalía tiene la forma ( $\bar q \, \gamma_{5} \, \tau_{3}\, q=f_{\pi}m^{2}\pi_{0}$): $$\begin{gather} \mathcal{L}_{em}=-\frac{N_{c}\,e^{2}}{96 \pi^{2}f_{\pi}}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\,\pi_{0}\, \end{gather}$$

Creo que esta violación no está relacionada con las propiedades topológicas de la teoría.

Además de esta anomalía, existe una gran cantidad de otras, por ejemplo, una anomalía correspondiente al proceso$\gamma\rightarrow\pi\pi\pi$. Para describir todas las anomalías se utiliza la acción de Wess-Zumino-Witten. Esto es posible debido a la siguiente afirmación: cualquier anomalía no abeliana en la cuatridimensionalidad puede representarse a través de la acción de Wess-Zumino-Witten en cinco dimensiones (término de Chern-Simons) (para más información, consulte Can the eficaz vértice para$\gamma\to3\pi$derivarse directamente de la anomalía? , Anomalía quiral en dimensiones impares del espacio-tiempo ).

$$\begin{align} W &=-\frac{iN_{c}}{96\pi^{2}}\int^{1}_{0}dx_{5}\int d^{4}x \epsilon^{\,\mu\nu\sigma\lambda\rho}\,Tr \Bigl[-j^{-}_{\mu}F^{\mathcal{L}}_{\nu\sigma}F^{\mathcal{L}}_{\lambda\rho}-j^{+}_{\mu}F^{\mathcal{R}}_{\nu\sigma}F^{\mathcal{R}}_{\lambda\rho} \nonumber \\ &-\frac{1}{2}\,j^{+}_{\mu}F^{\mathcal{L}}_{\nu\sigma}\,U(x_{5})F^{\mathcal{R}}_{\lambda\rho}\,U^{\dagger}\!(x_{5}) -\frac{1}{2}j^{+}_{\mu}F^{\mathcal{R}}_{\nu\sigma}\,U^{\dagger}\!(x_{5})F^{\mathcal{L}}_{\lambda\rho}\,U(x_{5}) \nonumber \\ &+i F^{\mathcal{L}}_{\mu\nu}\,j^{-}_{\sigma}j^{-}_{\lambda}j^{-}_{\rho}+i F^{\mathcal{R}}_{\mu\nu}\,j^{+}_{\sigma}j^{+}_{\lambda}j^{+}_{\rho} +\frac{2}{5}j^{-}_{\mu}j^{-}_{\nu}j^{-}_{\sigma}j^{-}_{\lambda}j^{-}_{\rho}\Bigl] \;\ \label{wzw} \end{align}$$