¿Cómo se introduce la función de Green en la teoría de muchos cuerpos?

Normalmente, para un operador (lineal) L y un DE

L tu ( X ) = F ( X )

la función de Green se define como

L GRAMO ( X , s ) = d ( X − s )

y se encuentra que

tu ( X ) = ∫ GRAMO ( X , s ) F ( s ) d s

es la solución general de la ED.

Ahora, he leído algunos textos sobre funciones de Green en la teoría de muchos cuerpos ( ejemplo ), pero la forma no me resulta familiar.

¿Puede explicar cómo se introducen esas funciones de Green? Es decir, ¿por qué los objetos de la forma 1 mi − H 0 ± i η llamadas funciones de Green (ejemplos aquí y aquí )?

Respuestas (1)

Porque estas son en realidad transformadas de Fourier de las funciones de Green habituales. Considere la ecuación de Schrödinger:

H ^ | Ψ ( t ) ⟩ = i ∂ t | Ψ ( t ) ⟩
la solucion general | Ψ ( t ) ⟩ de tal ecuación para un hamiltoniano independiente del tiempo H ^ se puede expresar en términos de la función de Green GRAMO ( X ′ , X , t ) :
Ψ ( X , t ) = ⟨ X | Ψ ( t ) ⟩ = ⟨ X | mi − i t H ^ | Ψ ( t = 0 ) ⟩ = ∫ d X ′ GRAMO ( X ′ , X , t ) Ψ ( X ′ , t = 0 )
dónde GRAMO ( X ′ , X , t ) = ⟨ X ′ | mi − i t H ^ | X ⟩ . La última igualdad se obtiene introduciendo la identidad de clausura:
∫ d X ′ | X ′ ⟩ ⟨ X ′ | = 1 ^

Entonces se puede definir un operador verde :

GRAMO ^ ( t ) = − i Θ ( t ) mi − i t H ^
dónde Θ representa la función de paso de Heaviside que está aquí para asegurar la causalidad de la solución Ψ ( X , t ) .

Luego, se puede calcular la transformada de Fourier de dicho operador, que a veces se denomina operador de resolución :

GRAMO ^ ( ϵ ) = ∫ d t GRAMO ^ ( t ) mi i ϵ t = − i ∫ d t Θ ( t ) mi i t ( ϵ − H ^ )

Entonces se puede expresar la Θ función en términos de su transformada de Fourier:

Θ ( t ) = ∫ d ω 2 π i mi − i ω t ω − i η
dónde η es un parámetro infinitesimal positivo.

Tomando todo esto en conjunto, encontrará que:

GRAMO ^ ( ϵ ) = − 1 2 π ∫ d ω 1 ω − i η ∫ d t mi i t ( ϵ − ω − H ^ )
Es posible reconocer con la transformada de Fourier de la distribución de Dirac:
d ( ω ) = 1 2 π ∫ d t mi i ω t
eso :
GRAMO ^ ( ϵ ) = − ∫ d ω 1 ω − i η d ( ω + ϵ − H ^ ) = 1 ϵ + i η − H ^
que es lo que buscas.

Gracias por la completa respuesta. Entendí todo excepto la segunda fórmula. ¿Puedes explicar por qué esto Ψ es realmente una solución de la ecuación de Schrödinger?
ver editar ↑ para más precisión.
Me parece que hay un error de signo menos, ya que tienes i t ( ϵ − ω − H ) en la exponencial, y luego esto se convierte en ω + ϵ − H en la función delta.
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