¿Cuál es la intuición detrás de las relaciones Kramers-Kronig?

Las relaciones de Kramers-Kronig son la expresión, en el dominio de la frecuencia de Fourier, del hecho de que la susceptibilidad lineal$\chi(\tau)$es una función causal, es decir, que la respuesta dieléctrica de la señal$f$a un forzamiento$F$tiene la forma

$$f(t) = \int_0^\infty \chi(\tau) F(t-\tau) \mathrm d\tau = \int_{-\infty}^\infty \theta(\tau)\chi(\tau) F(t-\tau) \mathrm d\tau$$ con $\theta(\tau)$la función escalón de Heaviside, de modo que $f(t)$no depende de $F(t')$para $t'>t$.

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Una forma de entender cómo esto da lugar a las relaciones de Kramers-Kronig es examinar la transformada de Fourier de$\chi(\tau)$directamente,

$$\tilde \chi(\omega) = \int_{-\infty}^\infty \chi(\tau) e^{i\omega\tau} \mathrm d\tau = \int_{0}^\infty \chi(\tau) e^{i\omega\tau} \mathrm d\tau,$$ donde el núcleo de Fourier $e^{i\omega\tau}$solo se llama sobre un rayo de un solo lado. Eso significa, por lo tanto, que si la transformada de Fourier $\tilde\chi(\omega)$se evalúa a una frecuencia $\omega$con una parte imaginaria positiva, entonces la desigualdad triangular aplicada como $$|\tilde \chi(\omega)| \leq \int_{0}^\infty |\chi(\tau)| e^{-\mathrm{Im}(\omega)\tau} \mathrm d\tau$$ garantiza que (mientras $\chi(\tau)$es de clase $L_1$, que suele ser una suposición estándar para la transformada de Fourier sobre real $\omega$por definir en primer lugar) $\tilde\chi(\omega)$está definido y es analítico sobre todo el semiplano superior complejo de $\omega$.

Esto es extremadamente importante, porque la clase de funciones analíticas es extremadamente rígida, y esto pone restricciones severas en el comportamiento de$\tilde\chi(\omega)$. El Kramers-Kronig es una de estas restricciones, en esencia, una versión de la fórmula integral de Cauchy, aplicada a un contorno que corre a lo largo del eje real, con un medio bucle infinitesimal sobre el polo, y luego regresa sobre un círculo en el infinito. .

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Sin embargo , no creo que esta sea la forma más útil de ver las cosas, y hay un hermoso argumento en el dominio del tiempo que es mucho más claro; se explica bastante bien en Wikipedia , pero vale la pena repetirlo aquí. Cuando se ve desde una perspectiva de dominio del tiempo, la relación Kramers-Kronig es una combinación simple de dos ideas clave:

• Las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier$\boldsymbol{ \tilde\chi(\omega)}$están en correspondencia uno a uno con las partes pares e impares del dominio del tiempo$\boldsymbol{\chi(\tau)}$Esta es una parte simple de la tradición estándar de Fourier: si una función es par, su transformada de Fourier es real, y si es impar, su transformada es imaginaria; para funciones arbitrarias simplemente agregue los dos.

• Si una función es cero para todos los tiempos$\boldsymbol{\tau<0}$entonces sus partes pares e impares deben ser iguales en$\boldsymbol{\tau>0}$y opuesto en$\boldsymbol{\tau<0}$. En otras palabras, la única manera de tener$\chi(\tau)=0$para todos$\tau<0$es tener las partes pares e impares dadas por

  $$\begin{align} \chi_\mathrm{even}(\tau) & = \frac12 \chi(|\tau|) \\ \chi_\mathrm{odd}(\tau) & = \frac12 \mathrm{sgn}(\tau)\chi(|\tau|), \end{align}$$ o en otras palabras $$\chi_\mathrm{odd}(\tau) = \mathrm{sgn}(\tau)\chi_\mathrm{even}(\tau) \quad \text{and} \quad \chi_\mathrm{even}(\tau) = \mathrm{sgn}(\tau)\chi_\mathrm{odd}(\tau).$$

Las relaciones de Kramers-Kronig son solo las transformadas de Fourier de esas dos identidades, utilizando el teorema de convolución para calcular las transformadas de esos productos. Esto hace que esas transformadas sean convoluciones,

$$\mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{odd}\right] = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{even}\right] \quad \text{and} \quad \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{even}\right] = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{odd}\right]$$ y si ponemos esa primera idea obtenemos $$i\operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} \quad \text{and} \quad \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast i\operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{},$$ y si hacemos explícitas esas circunvoluciones, obtenemos $$\begin{align} \operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega)\right) \mathclose{} & = -i\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right](\omega-\omega') \, \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega') \right) \mathclose{} \mathrm d\omega' \quad \text{and} \\ \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega)\right) \mathclose{} & = i \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right](\omega-\omega') \, \operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega') \right) \mathclose{} \mathrm d\omega' \end{align}$$ (modulo el hecho de que no me importa la normalización de las transformaciones y las circunvoluciones).

En lo que respecta a las partes centrales de la intuición, esto es todo: estas identidades ahora tienen la misma forma estructural que las relaciones finales de Kramers-Kronig, y lo único que queda es calcular la transformada de Fourier de la función de signo. : como la transformada de Fourier de la función de Heaviside , es una distribución, y su transformada de Fourier no es trivial de calcular, pero de ahí proviene el valor principal de Cauchy.

Entonces, finalmente, permítanme concluir esto con el resumen gráfico del proceso de Wikipedia:

^{Fuente de imagen}

Las relaciones de Kramers Kronig son simplemente la afirmación de que la función es causal en el dominio del tiempo, o especialmente la función en el dominio del tiempo tiene la forma

$$\epsilon(t)=\theta(t)f(t)$$

Dónde$f(t)$es alguna función del tiempo, y$\theta$es la función theta de Heaviside, que es cero para tiempos negativos.

Físicamente, esto significa que la función dieléctrica es causal, solo es distinta de cero después de que el sistema siente un impulso.

Es posible que desee consultar este enlace para obtener más información.

http://dx.doi.org/10.1088/0143-0807/33/6/1635