Teorema de Gell-Mann y Low en QFT y en física de muchos cuerpos en T=0T=0T = 0

1. El enunciado del teorema de Gell-Mann y Low:

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• Dejar$\left|\Psi_0\right>$sea ​​un estado propio del hamiltoniano que no interactúa$H_0$con energia$E_0$y sea el hamiltoniano interactivo

  $$H = H_0 + g V,$$ dónde$g$es una constante de acoplamiento y$V$el término de interacción. Definimos un hamiltoniano $$H_{\epsilon} = H_0 +e^{-\epsilon\left|t\right|}g V,$$ dónde$\epsilon$es un parámetro positivo, entonces$H_\epsilon$efectivamente interpola entre$H$y$H_0$.

• Para los casos límite tenemos

  $$\begin{align} t \rightarrow \pm\infty \Rightarrow & H_\epsilon = H_0 ,\\ \epsilon \rightarrow 0^+ \Rightarrow & H_\epsilon = H . \end{align}$$

• Dejar$U_{\epsilon I}$denote el operador de evolución en la imagen de interacción. El teorema de Gell-Mann y Low afirma que si el límite de

$$\begin{equation} \left|\Psi_{\epsilon}^{(\pm)}\right> = \dfrac{U_{\epsilon I}(0,\pm\infty)\left|\Psi_0\right>}{\left<\Psi_0\right|U_{\epsilon I}(0,\pm\infty)\left|\Psi_0\right>} \end{equation}$$

existe como$\epsilon\rightarrow 0^+$,entonces$\left|\Psi_{\epsilon}^{(\pm)}\right>$son estados propios de$H$.

• Tenga en cuenta que cuando se aplica, por ejemplo, al estado fundamental, el teorema no garantiza que el estado evolucionado seguirá siendo un estado fundamental. En otras palabras, el paso a nivel no está excluido.

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2. Aquí hay una buena prueba de Molinario:${J. Math. Phys. 48, 052113 (2007)}$Encontrará esto en las referencias del teorema de Gell Mann y Low en Wikipedia, que le brindarán más detalles.

Espero que esto ayude.

esto también me desconcertó mucho durante mucho tiempo. Mi entendimiento actual es que no hay una diferencia intrínseca entre GMLT en QFT y AT en QM. De hecho, la idea de la conmutación adiabática debería funcionar incluso mejor en QFT. Como la adiabatía de la dispersión casi siempre está garantizada, mientras que ningún experimento QM garantiza una adiabatía real. Entonces, uno tiene que encontrar diferentes criterios para verificar si se aplica el teorema.

Lo bueno que hicieron Gell Mann y Low es que, al insertar el factor de normalización correcto, las contribuciones de las burbujas de vacío se cancelan, de modo que la expresión del estado regulador después de la evolución adiabática en el tiempo no contiene una fase divergente.

Pero aparte de eso, es lo mismo con la versión QM de AT. De hecho, Gell Mann y Low no habían probado que el vacío que interactúa tiene que llegar desde un vacío libre. Pero Kato lo hizo. Véase T. Kato, J. Phys. Soc. Jpn \textbf{5}, 435, (1950). Tiene su gran intuición para definir la transformación dinámica y la transformación adiabática. Y logró demostrar que los dos tipos distintos de transformaciones coinciden cuando se toma el límite adiabático (un H que varía lo suficientemente lento). Con su formalismo, el vacío interactuante podría obtenerse mediante la evolución adiabática del vacío libre.