Las ecuaciones de Hedin y la energía del estado fundamental

Las ecuaciones de Hedin son un esquema iterativo para calcular la función de Green$G$, la energía propia$\Sigma$, el vértice$\Gamma$, la polarizabilidad$\chi$y la interacción filtrada$W$.

Sin embargo, ¿existe una buena identidad que me dé la energía del estado fundamental solo en términos de$G$,$\Sigma$,$\Gamma$,$\chi$, y/o$W$?

Sé que hay aproximaciones a las ecuaciones de Hedin, como la aproximación GW o RPA. Allí podemos escribir la energía del estado fundamental como:

$$E_0^{\text{RPA}} = \frac{1}{2\pi}\int \text d \omega \; \text{Tr} \ln\big(1-\chi(\text i \omega) V\big),$$ dónde $V$es el operador de Coulomb.

¿Qué pasa si no hago aproximaciones sino que resuelvo las ecuaciones de Hedin de modo que tenga las cinco cantidades$G$,$\Sigma$,$\Gamma$,$\chi$, y$W$(Sé que esto no es posible en la vida real), ¿cómo encuentro la energía del estado fundamental?

Solo por la diagramación, supongo que debe ser algo así como

$$E_0 = G\Sigma$$ más o menos... . ¿Alguien me puede ayudar?

PD: Sé que existe la fórmula de Galitskii-Migdal tal que puedo escribir la energía del estado fundamental en términos de la función de Green. Pero hay operadores en el integrando, por lo que la ecuación no es práctica para una implementación en un código de computadora.