¿Cómo decidimos el término de perturbación en el hamiltoniano y cuál es la diferencia para la energía propia debido a diferentes términos de perturbación?

La teoría de la perturbación asume que hay un pequeño parámetro adimensional en la teoría. Para realizar cálculos perturbativos, se haría una expansión asintótica en términos de este parámetro adimensional. El primer término de la expansión representa el resultado no perturbado; el segundo término es la primera perturbación; Etcétera.

El parámetro pequeño (parámetro de expansión) generalmente (o al menos a menudo) viene dado por la constante de acoplamiento en el término de interacción de su hamiltoniano (o lagrangiano). Por lo tanto, la teoría de la perturbación solo funciona bien en el límite de acoplamiento débil. En el límite de acoplamiento fuerte, uno puede intentar usar los llamados métodos no perturbativos , de los cuales el enfoque de la ecuación de Schwinger-Dyson es un ejemplo (que no debe confundirse con la expansión de Dyson o la serie de Dyson en el contexto de la teoría de la perturbación).

Crudamente, uno puede derivar las perturbaciones de la siguiente manera.$^\star$Suponga que se le da un hamiltoniano de la forma

$$H[\phi] = H_0[\phi] + \alpha H_i[\phi] , \ \ \ \ - (1)$$ donde la constante de acoplamiento adimensional $\alpha$se hace explícito. Entonces se puede suponer que el campo se puede expandir en términos de la constante de acoplamiento $$\phi=\phi_0 + \alpha \phi_1 + \alpha^2 \phi_2 + ...$$ Ahora se puede sustituir la expansión por el hamiltoniano. Entonces, para considerar el caso imperturbable, se establece $\alpha=0$, de modo que $$H = H_0[\phi_0] .$$ De esto se puede obtener el resultado imperturbable $\phi_0$. Para la primera perturbación, se puede tomar la primera derivada de $(1)$con respecto a $\alpha$y luego establecer $\alpha=0$, $$\partial_{\alpha}H|_{\alpha=0} = dH_0[\phi_0,\phi_1] + H_i[\phi_0] .$$ Así se obtiene una expresión que contiene tanto $\phi_0$y $\phi_1$. Ya que ahora sabemos $\phi_0$, se puede sustituir y proceder a obtener $\phi_1$. A continuación se procede a la segunda derivada, sustituir en lo que se sabe al obtener el siguiente término en la expansión. De esta manera, uno puede obtener paso a paso los diferentes términos en la expansión para $\phi$.

$\star$No voy a trabajar en esto para sus dos ejemplos.

Una aproximación perturbativa, como cualquier otra aproximación, se basa en algunas presuposiciones sobre los parámetros definitorios y el comportamiento cualitativo de un sistema. Sin tales suposiciones, no puede dar otro paso que no sea simplemente abordar todo el hamiltoniano con todas sus complejidades, generalmente una tarea imposible. Además, observe que incluso los hamiltonianos que ha proporcionado como ejemplo (Hubbard y$c-d$hibridación) se basan en algunas suposiciones profundas sobre el comportamiento físico de los sistemas bajo consideración. Entonces, al analizar un sistema físico, uno siempre debe conocer bien tales presuposiciones subyacentes . Por ejemplo, el modelo de Hubbard es una simplificación total del modelo original (intratable) para los electrones que interactúan con Coulomb en una red:

(fuente: cap. 2 de Ref. [1])

Los supuestos simplificadores en el modelo de Hubbard son, por ejemplo, que la interacción de Coulomb entre la conducción deslocalizada ($c$-) los electrones son locales , y los núcleos de iones pesados ​​forman una red estática . Para$c-d$modelo de hibridación, las presunciones son que los estados de deslocalización$c$-electrones es casi ortogonal a la de los localizados$d$-electrones, y que la interacción local de Coulomb solo está presente para localizados$d$-estados.

¿Cómo dividimos nuestro hamiltoniano y cómo decidimos qué parte debe tratarse como perturbación?

Tales particiones a menudo se basan en conocimientos físicos profundos obtenidos de observaciones experimentales de materiales. Por ejemplo, sabemos que el orden de magnitud de la interacción de Coulomb para electrones localizados es$\sim$5–10 eV, mientras que su energía cinética es$\sim$1 eV, y la fuerza de hibridación,$V$, es$\sim$0,1–1 eV. Con tal conocimiento, uno puede decidir qué parte del hamiltoniano es la parte "principal".$H_0$y que parte es la parte perturbativa$H_1$. Entonces, en general, uno debe comparar correctamente las escalas de energía de los términos en el hamiltoniano (por ejemplo, vea el radio de Wigner-Seitz utilizado para evaluar la importancia de la interacción de Coulomb en el caso de líquidos de electrones).

¿Cuál es la diferencia de la energía propia debida al... Término de interacción de Coulomb y término de acoplamiento entre la región central y los electrodos izquierdo/derecho [=$c-d$término de hibridación]?

Desde un aspecto formal, todas las energías propias “nacen iguales”: su origen/causa no importa, aunque los detalles técnicos de un cálculo perturbativo dependen de la forma particular de la interacción [3]. No obstante, desde una perspectiva física , las energías propias son de hecho muy diferentes en la forma en que modifican el comportamiento de un sistema. Por ejemplo, el término de hibridación$V$(Eq. 3) simplemente "mezcla" los estados$c$y$d$. Las propiedades del sistema electrónico original, sin embargo, siguen siendo cualitativamente las mismas que las del sistema imperturbable (con$V \rightarrow 0$).

El papel de la interacción de Coulomb en el modelo de Hubbard (Ec. 2) es manifiestamente diferente. Cuando la fuerza de la interacción de Coulomb supera la energía cinética,$|u / t| \gg 1$, el sistema conductor original (con$|u / t| \ll 1$) se convierte en un aislante de Mott , una fase cualitativamente diferente.

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^{[1] Bruus, H. y K. Flensberg. “Teoría cuántica de muchos cuerpos en la física de la materia condensada” (2002) [ PDF ].
[2] Para detalles de las técnicas diagramáticas, consultar los caps. 11 y 12 de la ref. [1].}