De Minkowski al tiempo euclidiano en integrales de trayectoria

Question

De Minkowski al tiempo euclidiano en integrales de trayectoria

Física
analiticidad
integral de trayectoria
rotación de mecha
números complejos
física-matemática

ppr

Estoy tratando de probar la siguiente igualdad:

< X_{F}, i t_{F} | X_{i}, i t_{i} >= norte \int_{{X \in R^{R} : X (t_{F}) = X_{F} \land X (t_{i}) = X_{i}}} D X Exp {- \frac{1}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t {\frac{1}{2} metro {[X^{'}]}^{2} - (- V [X])}}

$<x_{f},\, it_{f}|x_{i},\, it_{i}>=\mathcal{N}\int_{\left\{ x\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}:\, x\left(t_{f}\right)=x_{f}\wedge x\left(t_{i}\right)=x_{i}\right\} }\mathcal{D}x\exp\left\{ -\frac{1}{\hbar}\int_{t_{i}}^{t_{f}}dt\left\{ \frac{1}{2}m\left[x'\right]^{2}-\left(-V\left[x\right]\right)\right\} \right\}$ donde la definición de

< x_{f}, t_{f} | x_{i}, t_{i} >

$<x_f, t_f|x_i, t_i>$ es dado por:

< X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} >\equiv norte \int_{{X \in R^{R} : X (t_{F}) = X_{F} \land X (t_{i}) = X_{i}}} D X Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t {\frac{1}{2} metro {[X^{'}]}^{2} - (V [X])}}

$<x_{f},\, t_{f}|x_{i},\, t_{i}>\equiv\mathcal{N}\int_{\left\{ x\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}:\, x\left(t_{f}\right)=x_{f}\wedge x\left(t_{i}\right)=x_{i}\right\} }\mathcal{D}x\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int_{t_{i}}^{t_{f}}dt\left\{ \frac{1}{2}m\left[x'\right]^{2}-\left(V\left[x\right]\right)\right\}\right\}$

Lo que he hecho hasta ahora:

Suponga que el dominio de integración, es decir, $\left\{ x\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}:\, x\left(t_{f}\right)=x_{f}\wedge x\left(t_{i}\right)=x_{i}\right\}$ es tal que todas las funciones en este conjunto pueden continuarse analíticamente a un nuevo dominio de integración $\left\{ x\in\mathbb{C}^{\mathbb{C}}:\, x\left(it_{f}\right)=x_{f}\wedge x\left(it_{i}\right)=x_{i}\right\}$ . ¿Es esto válido?
Complemente las definiciones: $<x_{f},\, it_{f}|x_{i},\, it_{i}>=\mathcal{N}\int_{\left\{ x\in\mathbb{C}^{\mathbb{C}}:\, x\left(it_{f}\right)=x_{f}\wedge x\left(it_{i}\right)=x_{i}\right\} }\mathcal{D}x\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int_{it_{i}}^{it_{f}}dt\left\{ \frac{1}{2}m\left[x'\right]^{2}-\left(V\left[x\right]\right)\right\}\right\}$
Ahora a calcular $\int_{it_{i}}^{it_{f}}dt\left\{ \frac{1}{2}m\left[x'\right]^{2}-\left(V\left[x\right]\right)\right\}$ haga un cambio de variable (¿es esto válido? ¿No necesita el teorema de Cauchy y también suponer que los límites de tiempo van al infinito?) $t \mapsto -it$ Llegar: $i \int_{t_{i}}^{t_{f}}dt\left\{ \frac{1}{2}m\left[x'\right]^{2}+V\left[x\right]\right\}$ para que obtengas el exponente correcto.
Pero como prueba eso $\mathcal{N}\int_{\left\{ x\in\mathbb{C}^{\mathbb{C}}:\, x\left(it_{f}\right)=x_{f}\wedge x\left(it_{i}\right)=x_{i}\right\} }\mathcal{D}x = \mathcal{N}\int_{\left\{ x\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}:\, x\left(t_{f}\right)=x_{f}\wedge x\left(t_{i}\right)=x_{i}\right\} }\mathcal{D}x$ ? ¿Es lo mismo? $\mathcal{N}$ ?

danu

Creo que podrías haber olvidado cambiar la medida:

d t = i d τ

$dt=id \tau$

ppr

Lo siento, puede que te haya confundido. Edité el cambio de variables para reflejar lo que quise decir originalmente.

Mella

Solo un comentario justo, tenga cuidado con las rotaciones Wick, cuando tenga vectores potenciales

q \vec{x} \cdot \vec{A}

$q\vec{x}\cdot\vec{A}$ ¡esto no dará una acción real ordenada y simple!

ppr

Parece que esto se respondió aquí para QFT: link.springer.com/article/10.1007/BF01645738 y una serie de artículos relacionados.

Respuestas (1)

De Minkowski al tiempo euclidiano en integrales de trayectoria

Creo que podrías haber olvidado cambiar la medida: $dt=id \tau$
Lo siento, puede que te haya confundido. Edité el cambio de variables para reflejar lo que quise decir originalmente.
Solo un comentario justo, tenga cuidado con las rotaciones Wick, cuando tenga vectores potenciales $q\vec{x}\cdot\vec{A}$ ¡esto no dará una acción real ordenada y simple!
Parece que esto se respondió aquí para QFT: link.springer.com/article/10.1007/BF01645738 y una serie de artículos relacionados.

Valter Moretti · Answer 1

Siguiendo cuidadosamente el procedimiento de Feynman uno realmente encuentra:

⟨ X^{″} | {mi}^{- i \frac{(z^{″} - z^{'})}{ℏ} H} | X^{'} ⟩

$\langle x''|e^{-i\frac{(z''-z')}{\hbar}H}| x' \rangle$

= ⟨ X^{″}, z^{″} | X^{'}, z^{'} ⟩ = \underset{norte \to \infty ϵ \to 0}{límite} {[\frac{metro}{2 π i ℏ ϵ}]}^{norte / 2} \int_{- \infty}^{+ \infty} \dots \int_{- \infty}^{+ \infty} (\prod_{i = 1}^{norte - 1} d X_{i}) Exp {\frac{i ϵ}{ℏ} \sum_{j = 0}^{norte - 1} [\frac{metro}{2} {(\frac{X_{j + 1} - X_{j}}{ϵ})}^{2} - V (X_{j})]} (1)

$=\langle x'', z''|x', z'\rangle =\lim_{N\to \infty\: \epsilon \to 0} \left[\frac{m}{2\pi i \hbar \epsilon} \right]^{N/2}\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\prod_{i=1}^{N-1} dx_i \right) \exp\left\{\frac{i\epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left[ \frac{m}{2}\left(\frac{x_{j+1}-x_j}{\epsilon} \right)^2-V(x_j)\right]\right\}\quad (1)$ dónde $z',z'' \in \mathbb C$ , y $\epsilon = \frac{z''-z'}{N}$ .

Por lo tanto,

el procedimiento engloba el caso general de lapso de tiempo complejo $z''-z'$ ;
$\epsilon$ es un número complejo de la misma naturaleza que el de $z''-z'$ y este hecho es responsable tanto del cambio de signo frente a la energía cinética, pasando del formalismo lorentziano al euclidiano, como de la desaparición del factor global $i$ frente a la acción en la misma situación.

Como la fórmula (1) es válida para tiempos generalmente complejos $z$ , la "rotación de la mecha" es automática: no es más que la especificación de la naturaleza de $z$ , reales o imaginarios.

En (1), no hay caminos verdaderos parametrizados por el parámetro $z$ , sin embargo eres libre de interpretar $x_{j}$ como posible posición en tiempo complejo $z_j = z'+ j\epsilon$ . En realidad, una interpretación efectiva (¡poderosa, podría decir!) es que la suma se calcula a lo largo de la clase de todos esos caminos "rotos", en vista de las integraciones en $dx_i$ conectando de todas las formas posibles $x_j$ y $x_{j+1}$ .

en el límite como $N\to +\infty$ se espera que estos caminos se vuelvan suaves (en realidad la historia es otra, ya que el conjunto de caminos suaves tiene medida cero...) y, formalmente, se escribe dicho límite como

< X^{″}, z^{″} | X^{'}, z^{'} >= norte \int_{{X \in R^{R} : X (z^{″}) = X^{″} \land X (z^{'}) = X^{'}}} D X Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{z^{'}}^{z^{″}} d z [\frac{1}{2} metro {(\frac{d X}{d z})}^{2} - V (X)]} .

$<x'',\, z''|x',\, z'>=\mathcal{N}\int_{\left\{ x\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}:\, x\left(z''\right)=x''\wedge x\left(z'\right)=x'\right\} }\mathcal{D}x\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int_{z'}^{z''}dz\left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dz}\right)^{2}-V\left(x\right)\right] \right\}\:.$

Verá, en particular, que el factor euclidiano $\mathcal{N}$ debe interpretarse como la continuación analítica de la lorentziana ya que

norte = \underset{ϵ \to 0}{límite} {[\frac{metro}{2 π i ℏ ϵ}]}^{norte / 2}

$\mathcal{N} = \lim_{\epsilon \to 0} \left[\frac{m}{2\pi i \hbar \epsilon} \right]^{N/2}$ y

ϵ

$\epsilon$ depende de la naturaleza de la noción de tiempo considerada.

Gracias por tu respuesta. Ciertamente me ha ayudado a entender algunas cosas, supongo que la más importante es que la notación funcional-integral es meramente simbólica y adquiere significado concreto solo cuando se discretiza el tiempo y se toma el límite. Sin embargo, a partir de su respuesta, parecería que no hay un paso no trivial al ir al espacio-tiempo euclidiano, que es algo que tenía la impresión de que no es nada trivial. Por ejemplo, ¿cuándo se rompería el espacio-tiempo euclidiano y cómo lo ve en esta forma de desarrollar la integral de trayectoria?
En realidad, hay muchos pasos no triviales que pasan del formalismo lorentziano al euclidiano. Por ejemplo, ves que cada integral en $dx_i$ debe interpretarse, en general, en el sentido distribucional, ya que la función integrando es oscilante pero no, absolutamente integrable, en el caso lorentiano. Por el contrario, es una verdadera integral en el sentido euclidiano ya que la función se desvanece rápidamente para grandes argumentos en el exponente. Este caso se puede manejar con una verdadera medida dimensional infinita. En términos generales, la integral funcional es un buen objeto matemático si el tiempo es complejo pero no real.
Un procedimiento eficaz es calcular la integral funcional para el tiempo complejo, utilizando dicho propagador regularizado en los cálculos y eliminando la parte imaginaria del tiempo como último paso.

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