Relación asintótica de la función de Green para la energía propia divergente

Estoy considerando la derivación en las páginas 64 a 66 de la Teoría cuántica de los sistemas de muchos cuerpos de Zagoskin . Consideran una función de Green en la representación de Lehmann:

GRAMO ( pag , ω ) = ( 2 π ) 3 ∑ s ( A s d ( pag − PAG s ) ω − ϵ s + + m + i 0 ± B s d ( pag + PAG s ) ω − ϵ s − + m − i 0 )

dónde ϵ s + = mi s ( norte + 1 ) − mi 0 ( norte ) > m y ϵ s − = mi 0 ( norte ) − mi s ( norte − 1 ) < m .

ellos ellos derivan GRAMO ( ω ) ∼ 1 / ω al afirmar que

en este límite podemos despreciar todos los demás términos en el denominador... de modo que

GRAMO ( pag , ω ) ∼ 1 ω ( 2 π ) 3 ∑ s ( A s d ( pag − PAG s ) ± B s d ( pag + PAG s ) )

El problema aquí es que, para algunas funciones generales de Green que interactúan, siento como si estuvieran haciendo una suposición sobre la energía propia, es decir, que ω > Σ ( k , ω ) ∀ ω . Si Σ ( ω ) ∼ k , ω 2 , por ejemplo, entonces el análisis anterior falla, aunque no puedo encontrar ninguna explicación de un comportamiento tan divergente en mis libros.

Lo que me preocupa es el comportamiento de las partes real e imaginaria de GRAMO ( k , ω ) como | ω | → ∞ . He visto a autores usar el argumento anterior para afirmar que la parte imaginaria de la función de Green desaparece más rápido que la parte real al divergir. ω . Sin embargo, para alguna energía propia que crece más rápido que ω , ¿se desmorona este argumento? . Si siento que lo haría, pero no puedo encontrar ninguna referencia que hable de eso. Cualquier explicación o referencia (preferiblemente documentos originales a los que se pueda acceder fácilmente en línea) sería muy apreciada.

EDICIÓN 1: ¿Estoy en lo correcto al afirmar que la energía propia está completamente contenida en A s y B s , y por lo tanto GRAMO ( pag , ω ) ∼ 1 / ω como | ω | → ∞ independientemente del comportamiento energético propio?

EDIT 2: ¿Es simplemente porque el límite de Σ ( ω , k ) → ∞ no es fisico para ω → ± ∞ (a pesar de ∂ Σ ∂ ω → ∞ es legal en un líquido no Fermi)?

Respuestas (1)

Una buena solución a esta pregunta se puede encontrar en A refresher in many-body theory de Andre-Marie Tremblay . En la página 93, Sección 3.6, dice que el comportamiento asintótico de alta frecuencia de la función de Green está determinado por reglas de suma. Es decir, usando la notación de Tremblay,

límite i k norte → ∞ GRAMO ( k , i k norte ) = límite i k norte → ∞ 1 i k norte
Para obtener este comportamiento correcto, la energía propia no puede divergir a alta frecuencia; es decir,

límite i k norte → ∞ Σ ( k , i k norte ) = constante

Por lo tanto, la función de Green fermiónica siempre estará por encima de la frecuencia en el límite de frecuencia grande.

Esa es una muy buena referencia, pero en este caso está un poco fuera de lugar: también se permite una energía propia que va, por ejemplo, como la raíz cuadrada de la frecuencia para frecuencias grandes. El requisito anterior es demasiado estricto, basta con que la energía propia tenga un comportamiento de frecuencia más lento que el lineal.
@Funzies ¿Tiene alguna referencia que hable sobre el comportamiento sublineal de la energía propia?
Eche un vistazo a este documento: arxiv.org/pdf/1112.5074.pdf . La discusión en torno a las Ecs. (1.1), (1.3), (1.4) y (3.9) pueden ser útiles. Al final todo se reduce al hecho de que la función de Green debería ser exactamente igual a 1/\omega para \omega grande. La razón es que si cierras la integral de frecuencia (es decir, la regla de la suma) por un contorno en el semiplano superior y no hay polos allí, entonces la integral viene dada por la contribución del semicírculo en el infinito, lo que da exactamente 2\pi i, pero solo si la función de Green es 1/\omega.
El ejemplo más famoso @JoshuahHeath es el modelo SYK
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