¿Cómo obtener una energía propia imaginaria?

La representación de Lehman de la función de Green de una sola partícula dependiente de la frecuencia es

GRAMO ( k , ω ) = ∑ norte | C k | 2 ω − mi norte + i η
dónde norte enumera todos los estados propios del sistema, C k es la superposición entre | Ψ norte ⟩ , el estado propio a energía propia mi norte , y el estado | k ⟩ = C k † | 0 ⟩ . Y η es un factor de convergencia muy pequeño, a veces también escrito como 0 + .

La función espectral correspondiente es

A ( k , ω ) = ∑ norte | C yo | 2 η π ⋅ 1 ( ω − mi k ) 2 + η 2 )
Esto significa que tenemos Lorenzian con ancho η en las energías propias del sistema, es decir, para pequeñas η vemos que la función espectral tiene picos agudos para todos los valores de ω que corresponden a las energías propias del sistema. (Tenga en cuenta que para η → 0 , el lorenziano se convierte en d -función).

Hasta aquí todo bien. Ahora también podemos escribir la función de Green usando la energía propia . Si ε ( k ) es la dispersión de la partícula que no interactúa, entonces la energía propia se define a través de

GRAMO ( k , ω ) = 1 ω − ε ( k ) − Σ ( k , ω ) + i η

Se menciona en muchas ocasiones que una energía propia con una parte imaginaria distinta de cero corresponde a una cuasi-partícula con un tiempo de vida finito. En la función espectral, una energía propia imaginaria conduce a un pico ancho , y el ancho de ese pico está relacionado con la parte imaginaria de Σ ( k , ω ) .

Pregunta: Al principio, he demostrado que la función espectral tiene picos infinitamente agudos precisamente en las energías propias del sistema. Pero más tarde, he demostrado que una energía propia imaginaria conduce a picos amplios . ¿Cómo puedo reconciliar estos dos hechos?

Pregunta relacionada: Si encuentro un "continuo" de estados en mi función espectral, ¿cómo puedo saber si estos forman un continuo de estados propios "verdaderos" del sistema o un grupo de cuasipartículas en descomposición?

La motivación: en el modelo de Holstein, tenemos un solo electrón en una red en la aproximación de unión estrecha que interactúa con los fonones de frecuencia de Einstein. Ω . En el límite de no interacción, tenemos la banda de electrones de no interacción ε ( k ) = − 2 t porque ⁡ ( k a ) y luego, comenzando en una energía Ω arriba − 2 t , un continuo de estados correspondientes a un electrón de impulso k − q y un fonón de impulso q . Estos son estados propios "verdaderos" del sistema (que no interactúa). Pero si luego enciendo la interacción del tipo

gramo norte ∑ q C k − q † C k ( b q † + b − q )
Todavía tengo un continuo una energía Ω por encima del estado fundamental, pero ahora estos ya no son estados propios verdaderos, ya que el fonón adicional puede decaer a través del término de interacción. Pero cuando ya no son estados propios verdaderos, ¿entonces no deberían aparecer en la representación de Lehman y, por lo tanto, no deberían contribuir a la función espectral?

Para empezar, estoy convencido de que la "función espectral correspondiente" es incorrecta ya que no depende de η . Sí, estoy convencido de que ese es el problema.
He editado ese punto en consecuencia. Sin embargo, no creo que sea un problema, porque la representación resultante de la función espectral solo me daría picos anchos con un ancho finito cuando la propia energía propia tenía una parte imaginaria, pero eso va en contra de mi comprensión de las energías propias...

Respuestas (2)

Esta es una gran pregunta. El punto es que hemos hecho un gran cambio estructural al pasar de la representación de Lehmann a la otra. En la representación de Lehmann, hemos optado por escribir GRAMO como una suma sobre un número infinito de polos reales , lo cual está bien, por supuesto, pero cuando comienzas a sumar un número infinito de funciones delta, las cosas pueden complicarse.

(Aparte: considere por un momento si integramos Im GRAMO general k -- nos quedamos con la densidad de estados ρ ( ω ) = ∑ norte d ( ω − mi norte ) ... y, sin embargo, cuando te sientas y lo resuelves, digamos, partículas libres en un espacio continuo de 3, obtienes una función agradable y suave de ω . ¿Por qué? Bueno, porque los valores propios mi norte se vuelven arbitrariamente cerca uno del otro, la suma se convierte en una integral, bajo la cual las funciones delta cambian inmediatamente de enemigo a amigo).

Entonces, con eso en mente, la función espectral que obtuvo de la representación de Lehmann tendrá estructura en todos los valores propios del sistema completo de muchos cuerpos (que se fusionarán en funciones uniformes en un sistema infinito), pero esto es una tontería ya que esos valores propios generalmente no corresponden a excitaciones en las que podríamos pensar de manera intuitiva.

Entonces, en lugar de pensar en los estados propios reales de los sistemas de muchos cuerpos, nos damos por vencidos e introducimos cuasipartículas y trabajamos con sus funciones de Green, que, como mostraste, tienen un polo complejo relacionado con Σ , con la parte imaginaria dando la dispersión en el eje de frecuencia real que tienen los valores propios reales.

(Creo que esto también debería ayudar con su pregunta relacionada, pero es tarde; avíseme si he sido opaco).

Una respuesta muy útil. Creo que mi primera pregunta ya está respondida. La segunda parte todavía me confunde un poco: dices "introducimos cuasipartículas". ¿Cuál es exactamente el paso para presentarlos? ¿Es sólo la decisión de escribir GRAMO ( k , ω ) = 1 / ( ω − ε ( k ) − Σ ( k , ω ) ) ? Si es así, ¿cuál es la justificación para identificar el ancho del pico con un tiempo de vida finito? ¿No podría tener también un continuo de estados vividos infinitamente?
Eso es exactamente correcto. La justificación del ancho de pico <-> tiempo de vida finito es el principio de incertidumbre. Cuanto más exactamente podamos especificar la energía, más amplia será la distribución en el espacio de vida, y viceversa. Además, puede hablar sobre una secuencia continua de valores propios exactos (que no tienen una parte imaginaria) y, de hecho, la tiene en la representación de Lehmann. Simplemente no es algo muy agradable de hacer. Lejos de la superficie de Fermi, ¿cuáles son los estados propios exactos del gas de Fermi que interactúa?
Creo que parte de esta confusión es que instintivamente asumimos que un sistema cuántico de muchos cuerpos es solo una colección de sistemas de partículas individuales. El problema, como señala wsc, es que no lo es. Los estados propios exactos del problema de muchos cuerpos no se incluyen en los productos de los de una sola partícula. Por otro lado, en ausencia de una transición de fase, cosas como el líquido de Fermi se parecen mucho a un gas que no interactúa, por lo que uno podría conjeturar razonablemente que están cerca de la factorización. Cosas como la autoenergía imaginaria ayudan a que esto sea lo suficientemente cercano como para ser útil.
Bien, gracias wsc por la respuesta y genneth por el comentario adicional. Creo que ya lo tengo :)
Interesante pregunta, respuesta y discusión. Hay algunas matemáticas cuestionables aquí: "no es algo muy agradable de hacer", pero lo hacemos de todos modos. Por ejemplo, no podemos hablar de una secuencia continua de valores propios exactos a menos que salgamos de los espacios de Hilbert separables, lo que introduce problemas adicionales. Ninguna suma numerable infinita de funciones delta dará una función continua. Como dice Genneth, podemos dar un salto para incluir la autoenergía imaginaria en aras de la utilidad, pero entonces estamos usando un espacio de Hilbert que no es un espacio de Fock (que tiene, entre otras cosas , una base contable).
En la publicación original se muestran dos representaciones para la función de Green. El primero tiene polos a energías estrictamente reales, como se esperaba, ya que el hamiltoniano es hermitiano. La segunda representación parece tener polos en energías complejas si la energía propia tuviera una parte imaginaria. ¿Cómo son reconciliables estas dos observaciones y cómo puede haber polos en energías complejas si el hamiltoniano es hermitiano?

Las partículas inestables son conceptos de teorías de campos efectivos (o sistemas de pocas partículas) en descripciones reducidas donde se ignoran los productos de descomposición. En estas descripciones reducidas, aparecen como partículas con masas complejas, y sus funciones de Green tienen polos complejos.

En una descripción no reducida, las partículas inestables aparecen como polos del disolvente analíticamente continuado de la segunda lámina no física. La descomposición espectral del solvente es una suma sobre el espectro discreto más una integral sobre el espectro continuo a lo largo de una curva compleja definida por el + i ϵ prescripción. Al incrustar el espacio de Hilbert en un espacio más grande, el llamado espacio de Hilbert amañado (o triple de Gelfand), uno puede deformar el camino de integración en un desvío complejo, siempre que no se cruce ningún polo.

Si uno cruza un polo (lo que solo puede suceder deformando el camino en la hoja no física), un término discreto adicional proporcional a 1 / ( mi − mi 0 ) aparece, que es la contribución de la resonancia correspondiente. Si la parte imaginaria de mi 0 es diminuto, correspondiente a una partícula de larga vida, y el residuo (el numerador del término que aparece) no es diminuto, entonces deshacer la deformación implica un pico enorme en la distribución espectral del espectro continuo, casi una función delta, que es por qué estos objetos pueden ser tratados aproximadamente como partículas. (Esto se puede ver con todo detalle para el llamado átomo de Wigner--Weisskopf.) Si la parte imaginaria es más grande, se obtienen picos menos pronunciados (resonancias), que es la forma en que se detectan en la práctica las partículas inestables de vida corta.

Esto está bien explicado en el libro
Kukulin, VI; Krasnopol'sky, VM ; Horáček, J., Teoría de resonancias: principios y aplicaciones, Kluwer 1989
junto con los aspectos de computación para sistemas de pocas partículas.

Si el resolvente puede continuarse analíticamente en todas partes cerca del espectro continuo real, uno puede mover el contorno de integración a la hoja no física hasta que todas las resonancias significativas se hayan convertido en parte del espectro discreto ahora complejo (del hamiltoniano en un espacio indefinido no de Hilbert obtenido por una deformación correspondiente de la integral en el producto interior). El espectro continuo residual no tiene picos significativos y, por lo general, se puede ignorar, lo que da como resultado un subsistema efectivo mucho más manejable.

Para explicar por qué la energía propia es típicamente compleja, resuelva la ecuación definitoria GRAMO ( mi ) = 1 mi − ϵ ( mi ) − Σ ( mi ) (válido para no reales mi solo para Σ ( mi ) = mi − ϵ ( mi ) − GRAMO ( mi ) − 1 . Tenga en cuenta que esta expresión no es hermitiana, ya que bajo conjugación, mi se convierte mi ¯ ≠ mi ! Así, incluso en el límite donde mi se vuelve real (lo que ahora es a menudo posible porque los polos de GRAMO ( mi ) no crear daño), no hay razón para Σ ( mi ) ser hermitiano, como GRAMO ( mi ) se ve diferente en ambos lados del corte de rama dado por el espectro continuo real.

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